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\documentclass[12pt]{article}

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% fontes latin modern
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% pas d'ent\^ ete
% num\' ero de page centr\' e en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
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% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de pr\' esentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alin\' ea en d\' ebut de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% \`a gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activit\' e
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Programmer le calcul de la m\' ediane et des quartiles} 

    {\bf Fiche \' el\`eve}
  \end{center}
\end{minipage}
% \`a droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge 2\ieme}
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, \`a droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteur : Pierre Lap\^ otre, Emmanuel Ostenne et Martijn van Brugge
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Corps de l'activit\' e %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul employ\' es au lyc\' ee contiennent des fonctions qui calculent les premier et troisi\`eme quartiles d'une s\' erie statistique. Ces fonctions sont bas\' ees sur des d\' efinitions de $Q_1$ et $Q_3$ diff\' erentes des d\' efinitions des programmes fran\c cais d'enseignement. Les r\' esultats qu'elles donnent sont donc faux pour nous. Nous allons \' etablir des algorithmes corrects ex\' ecutables soit sur le tableur \og Calc\fg, soit sur une calculatrice programmable, soit sur \og scilab pour les lyc\' ees\fg, \og Xcas\fg ou \og Javascript\fg.  \vspace{2mm}\\
Est donn\' ee une s\' erie statistique 
$$A:=(a_1,\ldots,a_n)\;\mathrm{de \;longueur}\;n\geqslant 2.$$
{\bf Premi\`ere partie : tri de la s\' erie statistique}\vspace{2mm}\\
{\bf 1 -} Commen\c cons par ranger $A$ dans l'ordre croissant : 

\begin{algorithm}
\SetLine
\Entree{

$A$ : suite de nombres r\' eels (s\' erie statistique)}
\Sortie{

$B$ : suite obtenue en ordonnant $A$}
\Deb{
Trier $A$ 

Afficher $B$
}
\caption{Tri d'une s\' erie statistique}
\end{algorithm}
\og Trier\fg d\' esigne dans l'algorithme {\bf 1} une fonction pr\' e-programm\' ee du syst\`eme utilis\' e.\vspace{1mm}\\ 
Comment faut-il modifier l'algorithme pr\' ec\' edent si \og Trier\fg trie dans l'ordre d\' ecroissant ?\vspace{1mm}\\
\textsl{Indication} : Si $x\leqslant y$,\quad $-x\geqslant -y$,\quad $x=-(-x)$\; et\; $y=-(-y)$.\vspace{2mm}\\  
{\bf Deuxi\`eme partie : calcul de la m\' ediane}\vspace{2mm}\\
Nous allons programmer le calcul de la m\' ediane $m$, bien que tous les syst\`emes pr\' e-programm\' es donnent une r\' eponse correcte \`a ce probl\`eme.\vspace{1mm}\\
{\bf 2 -} \' Ecrire en langage naturel un algorithme de calcul de $m$.\vspace{1mm}\\
{\bf 3 -} Traduire  cet algorithme en un algorithme ex\' ecutable par le syst\`eme utilis\' e en classe.\vspace{1mm}\\
{\bf 4 -} Pour tester cet algorithme,\vspace{1mm}\\
{\bf 4.a -} engendrer une suite $A$ de 1000000 de nombres au hasard dans l'intervalle $[0,1]$ (ou une suite plus courte, mais aussi longue que possible, si votre syst\`eme ne le permet pas) ;\vspace{1mm}\\
{\bf 4.b -} indiquer sans calcul quelle valeur remarquable devrait \^ etre tr\`es proche de $m$ dans ce cas ;\vspace{1mm}\\
{\bf 4.c -} v\' erifier votre pronostic en effectuant les calculs.\vspace{2mm}\\
{\bf Troisi\`eme partie : calcul des premier et troisi\`eme quartiles}\vspace{2mm}\\
Dans cette partie, on appellera $q$ et $r$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$ par 4. On rappelle que\vspace{3mm}

\centerline{
\begin{minipage}{13cm}
\textsl{Le premier quartile $Q_1$ est le plus petit \' el\' ement $x$ de la s\' erie statistique tel qu'au moins 25\% des donn\' ees soient inf\' erieures ou \' egales \`a $x$.\\
Le troisi\`eme quartile $Q_3$ est le plus petit \' el\' ement $y$ de la s\' erie statistique tel qu'au moins 75\% des donn\' ees soient inf\' erieures ou \' egales \`a $y$}.
\end{minipage}
}\vspace{3mm}
{\bf 5.a -} On suppose que $r=0$, c'est \`a dire que $n$ est un multiple de 4. Exprimer $Q_1$ et $Q_3$ comme \' el\' ements convenablement choisis de $B$.\vspace{1mm}\\
{\bf 5.b -} M\^ eme question si l'on suppose que $r=1$.\vspace{1mm}\\
Il resterait \`a examiner les cas $r=2$ et $r=3$. \textsl{On admettra le tableau r\' ecapitulatif suivant :}\vspace{3mm}\\
\centerline{{\rm
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline  $r$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 
\hline  $Q_1$ & $b_{q}$ & $b_{q+1}$ & $b_{q+1}$ & $b_{q+1}$ \\ 
\hline  $Q_3$ & $b_{3q}$ & $b_{3q+1}$ & $b_{3q+2}$ & $b_{3q+3}$\\ 
\hline
\end{tabular}}}\vspace{3mm}
{\bf 6 -} \' Ecrire en langage naturel un algorithme de calcul de $Q_1$ et de $Q_3$.\vspace{1mm}\\
{\bf 7 -} Prendre connaissance de la version de cet algorithme qui est ex\' ecutable par le syst\`eme utilis\' e en classe.\vspace{1mm}\\
{\bf 8 -} Pour tester cet algorithme,\vspace{1mm}\\
{\bf 8.a -} engendrer une suite $A$ de 1000000 de nombres au hasard dans l'intervalle $[0,1]$ (cf. question {\bf 4.a}) ;\vspace{1mm}\\
{\bf 8.b -} indiquer sans calcul quelles valeurs remarquables devraient \^ etre tr\`es proches de $Q_1$ et de $Q_3$ respectivement ;\vspace{1mm}\\
{\bf 8.c -} v\' erifier votre pronostic en effectuant les calculs.




























\end{document}