% classe du document
\documentclass[12pt]{article}

% mise en page
\usepackage[paper=a4paper, portrait=true, twoside=false, left=1cm,
top=1cm, nohead, nomarginpar, includefoot, centering=true]{geometry}

% changer "utf8" en "latin1" selon la configuration
%\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{amssymb,amsmath}
%\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
%\frenchbsetup{og = «, fg = »}
\DecimalMathComma

% fontes latin modern
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}

\usepackage[french,boxruled,inoutnumbered]{algorithm2e}

% pas d'ent\^ ete
% num\' ero de page centr\' e en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

% paquet multicols pour la pr\' esentation de l'activit\' e
\usepackage{multicol}
\usepackage{url}

% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

% nouvelle commande pour les titres : en gras
\newcommand{\titre}[1]{{\bf #1 :}}

% nouvel environnement pour les listes d'items : puce particuli\` ere
\usepackage{pifont}
\newenvironment{tickliste}{\renewcommand{\labelitemi}{\ding{51}}\begin{itemize}}{\end{itemize}}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de pr\' esentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alin\' ea en d\' ebut de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% \`a gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activit\' e
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Programmer le calcul de la m\' ediane et des quartiles}

    Fiche professeur
  \end{center}
\end{minipage}
% \`a droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge 2\ieme}
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, \`a droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteurs : Pierre Lap\^ otre, Emmanuel Ostenne et Martijn van Brugghe
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de renseignements %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% si une rubrique ne comporte qu'un \' el\' ement,
% on peut se d\' ebarasser de la liste d'item
\titre{But de l'activit\' e} Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul employ\' es au lyc\' ee contiennent des fonctions pr\' e-programm\' ees qui calculent les premier et troisi\`eme quartiles d'une s\' erie statistique. Ces fonctions sont bas\' ees sur des d\' efinitions de $Q_1$ et $Q_3$ diff\' erentes des d\' efinitions des programmes fran\c cais d'enseignement. Elles nous donnent donc des r\' esultats faux. Nous allons \' etablir des algorithmes corrects ex\' ecutables soit sur le tableur \og Calc\fg, soit sur une calculatrice programmable, soit sur \og scilab pour les lyc\' ees\fg, \og Xcas\fg ou \og Javascript\fg. 
\begin{multicols}{2}
  \titre{Comp\' etences engag\' ees}
  \begin{tickliste}
  \item \' Ecrire un algorithme en langage naturel.
  \item \' Ecrire un algorithme ex\' ecutable simple.
   \item Comprendre un algorithme ex\' ecutable donn\' e. \item Tester un algorithme.
  \item Engendrer des nombres au hasard sur un intervalle.
  \item Comprendre et appliquer les notions de m\' ediane et de quartiles.
  \end{tickliste}

  \titre{Pr\' e-requis}
  \begin{tickliste}
  \item Algorithmique : notions d'affectation et de boucle conditionnelle simple.
  \item Algorithmes en langage naturel, algorithme ex\' ecutable.
   \item Notions de m\' ediane et de quartiles.
  \item Secondairement, simuler des nombres au hasard sur l'intervalle $[0,1]$ .
   \end{tickliste}
  
  \titre{Mat\' eriels utilis\' es}
  \begin{tickliste}
  \item Calculatrice programmable ou ordinateur \' equip\' e de \og Calc\fg (tableur d'OOo) ou de \og scilab pour les lyc\' ees\fg, de \og Xcas\fg ou de \og Javascript\fg.
   \end{tickliste}

  \titre{Dur\' ee indicative} 2 heures

   \titre{Documents utiles \`a t\' el\' echarger}
  \begin{tickliste}
  \item \og Fiche \' El\`eve\fg et le fichier de calcul correspondant au syst\`eme utilis\' e.
  \end{tickliste}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Corps de la fiche prof %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\titre{D\' eroulement de la s\' eance}

Suivre la \og Fiche \' El\`eve\fg.

\titre{Avertissement} 

\`A notre connaissance, seule la \og TI Coll\`ege Plus\fg calcule les quartiles correctement, c'est \`a dire en utilisant les d\' efinitions de nos programmes.\vspace{1mm}\\
Les d\' efinitions des quartiles utilis\' ees par \og scilab\fg, \og Xcas\fg, \og Calc\fg ou les calculatrices programmables d'une part, les d\' efinitions de nos programmes d'enseignement d'autre part, traduisent correctement la m\^ eme id\' ee. Mais pour \' eviter de recourir \`a la bonne d\' efinition, qui, se r\' ef\' erant \`a la \textsl{fonction quantile}, est tr\`es technique et serait incompr\' ehensible pour les \' el\`eves, on fait des choix simplificateurs, autrement dit, on adopte des conventions. Malheureusement, ces conventions varient d'un pays \`a l'autre. Voil\`a pourquoi les syst\`emes de calcul utilis\' es en classe donnent des r\' esultats faux (pour nous).\vspace{1mm}\\ 
Par exemple, si $A$ d\' esigne la s\' erie statistique $(-1,-4,0,-4,7,5,-4)$, \og scilab\fg donne au troisi\`eme quartile $Q_3$ de $A$ la valeur 3.75, tandis que \og Xcas\fg lui donne la valeur 0. \og Calc\fg, le tableur d'OOo, lui donne la valeur 2.5. En r\' ealit\' e, $Q_3=5$. \vspace{1mm}\\
Ces logiciels calculent \' egalement $Q_1$ de mani\`ere erron\' ee.\vspace{1mm}\\
Sauf erreur, le calcul de la m\' ediane $m$ est toujours correct, quelque soit le logiciel de calcul utilis\' e.\vspace{1mm}\\
\textbf{Comment d\' etermine-t-on $m$, $Q_1$ et $Q_3$ conform\' ement aux d\' efinitions du programme ?} 
\begin{tickliste}
\item \textbf{M\' ediane :} On ordonne la s\' erie statistique observ\' ee dans l'ordre croissant. Si elle est de longueur 2p+1, la m\' ediane est la valeur du terme de rang p+1 de la s\' erie ordonn\' ee (terme du milieu) ; si elle est de taille 2p, la m\' ediane est la demi-somme des termes de rang p et p+1 (la demi-somme des deux termes du milieu) de la s\' erie ordonn\' ee.
\item \textbf{Premier quartile :} Le premier quartile $Q_1$ est le plus petit \' el\' ement $x$ de la s\' erie statistique tel qu'\textsl{au moins 25\% des donn\' ees soient inf\' erieures ou \' egales \`a $x$}. Cela signifie, en clair, que si la longueur de la s\' erie statistique observ\' ee est 4p (respectivement 4p+1, 4p+2, 4p+3), c'est la valeur du terme de rang p (respectivement p+1, p+1, p+1) de la s\' erie ordonn\' ee (en gros, un quart des termes de la s\' erie ordonn\' ee sont \`a gauche du premier quartile, trois quarts \`a droite).
\item \textbf{Troisi\`eme quartile :} Le troisi\`eme quartile $Q_3$ est le plus petit \' el\' ement $y$ de la s\' erie statistique tel qu'\textsl{au moins 75\% des donn\' ees soient inf\' erieures ou \' egales \`a $y$}. Cela signifie, en clair, que si la taille de la s\' erie statistique observ\' ee est 4p (respectivement 4p+1, 4p+2, 4p+3), c'est la valeur du terme de rang 3p (respectivement 3p+1, 3p+2, 3p+3) de la s\' erie ordonn\' ee.
\end{tickliste}

\titre{Solution}\vspace{2mm}

{\bf 1 -} \begin{algorithm}[H]
\SetLine
\Entree{

$A$ : suite de nombres r\' eels (s\' erie statistique)}
\Sortie{

$B$ : suite obtenue en rangeant $A$ dans l'ordre croissant}
\Deb{
$C\;\leftarrow\;(-A)$

Trier $C$

$B\;\leftarrow\;(-C)$

Afficher $B$
}
\caption{Tri  d'une s\' erie statistique avec une fonction Trier d\' ecroissante}
\end{algorithm}

{\bf 2 -} Une activit\' e de l'IREM  de Lille porte sur les tris : \og Algorithmique : le tri \`a bulles\fg, \`a l'adresse :
\centerline{\begin{url}{http://irem.univ-lille1.fr/activites/article129.html}
\end{url}} \vspace{2mm}\\
\begin{algorithm}[H]
\SetLine
\Entree{

$A$ : s\' erie statistique \; }
\Sortie{

m\' ediane de $A$ \;}
\Deb{
$n \;\leftarrow$ longueur de $A$ \;
$B\;\leftarrow$ suite $A$ rang\' ee dans l'ordre croissant \;  
\eSi {$n$ est impair}{
$m\;\leftarrow\;b_{({\frac{n-1}{2}+1})}$ \;
}{
$m\;\leftarrow\;\frac{1}{2}(b_{\frac{n}{2}}+b_{({\frac{n}{2}+1)}})$ \;
}
Afficher $m$}
\caption{Calcul de la m\' ediane d'une s\' erie statistique}
\end{algorithm}

{\bf 3 -} Voir le fichier  du syst\`eme  utilis\' e.\vspace{1mm}\\

{\bf 4.a -} En fait, \og Programmer le calcul de la moyenne et de la m\' ediane\fg ne devrait avoir aucun rapport avec le Calcul des probabilit\' es. Mais quand on a besoin de longues suites de nombres, \textsl{il est commode d'utiliser un g\' en\' erateur de nombres au hasard}. Avec \og scilab\fg ou \og Xcas\fg, on peut parfaitement travailler sur des suites de longueur 1000000. \vspace{1mm}\\
Il est indispensable de traiter des s\' eries statistiques longues. Ce n'est pas la peine de faire tant d'efforts pour calculer des m\' edianes qu'on pourrait trouver \`a la main. De nos jours, des s\' eries de plusieurs millions de nombres sont courantes.\vspace{1mm}\\
{\bf 4.b -} \`A partir du moment o\`u on utilise un g\' en\' erateur de nombres al\' eatoires, il est difficile de ne pas poser cette question, qui se rattache \`a la signification de la m\' ediane. Chaque nombre de la suite $A$ a autant de chances de tomber dans l'intervalle $[0,\frac{1}{2}]$ que dans l'intervalle $[\frac{1}{2},1]$. Par cons\' equent, il devrait y avoir \`a peu pr\`es autant de nombres $\leqslant \frac{1}{2}$ que de nombres $\geqslant \frac{1}{2}$ dans la suite $A$. Donc $m$ devrait \^ etre tr\`es voisin de $\frac{1}{2}\cdotp$\vspace{1mm}\\ 
Il y a des r\' esultats th\' eoriques l\`a-dessus : si on faisait tendre $n$ vers $+\infty$, $m$ - qui d\' epend de $n$ - tendrait vers $\frac{1}{2}\cdotp$ \vspace{2mm}\\
{\bf 5.a \& 5.b -}  Le terme de rang $q$ a bien la propri\' et\' e qu'au moins un quart des termes de $A$ lui sont inf\' erieurs ou \' egaux. C'est bien le plus petit \' el\' ement de $A$ qui ait cette propri\' et\' e puisque tout terme de $A$ qui lui serait strictement plus petit serait de rang dans $B$ strictement plus petit que $q$. Toutes les \' egalit\' es du tableau qui suit se d\' emontrent de m\^ eme.\vspace{1mm}\\
{\bf 6 -} \begin{algorithm}[H]
\SetLine
\Entree{

$A$ : s\' erie statistique \; }
\Sortie{

$Q_1$ et $Q_3$, premier et troisi\`eme quartiles de $A$ \;}
\Deb{
$n \;\leftarrow$ longueur de $A$ \;
$B\;\leftarrow$ suite $A$ rang\' ee dans l'ordre croissant \; 
$r\;\leftarrow$ reste de la division euclidienne de $n$ par 4 \;
$q\;\leftarrow$ quotient de la division euclidienne de $n$ par 4 \;
\Si {$r=0$}{
$Q_1\;\leftarrow\; b_q$ \;$Q_3\;\leftarrow\;b_{3q}$ \;
}
\Si {$r=1$}{$Q_1\;\leftarrow\;b_{q+1}$ \; $Q_3\;\leftarrow\;b_{3q+1}$ \;
}
\Si{$r=2$}{$Q_1\;\leftarrow\;b_{q+1}$ \;$Q_3\;\leftarrow\;b_{3q+2}$ \;
}
\Si{$r=4$}{$Q_1\;\leftarrow\;b_{q+1}$ \;$Q_3\;\leftarrow\;b_{3q+3}$ \;
}
Afficher $Q_1$, $Q_3$ ;}
\caption{Calcul de $Q_1$ et $Q_3$}
\end{algorithm}\vspace{2mm}\\

{\bf 7 -} Le professeur choisira peut-\^etre de demander \`a ses \' el\`eves d'\' ecrire eux-m\^emes l'algorithme ex\' ecutable. Sinon, ils prendront connaissance du fichier de calcul ad hoc.\vspace{2mm}\\
{\bf 8 -} Voir le corrig\' e de la question {\bf 4}. $Q_1$ et $Q_3$ auront des valeurs voisines de $\frac{1}{4}$ et de $\frac{3}{4}\cdotp$ Il y a aussi des r\' esultats th\' eoriques l\`a-dessus : si on faisait tendre $n$ vers $+\infty$, $Q_1$ et $Q_3$ - qui d\' ependent de $n$ - tendraient respectivement vers $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}\cdotp$

\titre{Pour aller plus loin}

Calculer les d\' eciles $d_1$ et $d_9$ de la s\' erie statistique (en vue du trac\' e de la bo\^ ite \`a moustaches associ\' ee). C'est facile et fastidieux.



\end{document}