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\newcounter{num}%num\' erote les exos
\renewcommand{\thenum}{\arabic{num}}%met un chiffre romain
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\begin{flushleft}
\fbox{\textbf{Exercice~\thenum~}}\end{flushleft}} }%compteur,dans la texte taper \exo
%{\fbox{\textbf{EXERCICE\thenum}}} 
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
\fbox{\hspace{1cm}\textbf{\Large RACINES NEUVI\`EMES DE L'UNIT\'E}\hspace{1cm}}
\end{center}
\vspace{7mm}
\textbf{\Large\'Enonc\'e} \vspace{7mm}\\
On se propose de d\' emontrer de trois fa\c cons diff\' erentes que le nombre complexe $$a=e^{\frac{2i\pi}{9}}+e^{\frac{4i\pi}{9}}+e^{\frac{8i\pi}{9}}$$ est un nombre imaginaire pur.\vspace{2mm}\\
\textbf{Premi\`ere m\' ethode :} On pose $u=e^{\frac{2i\pi}{9}}$. 
\begin{enumerate}
	\item Exprimer $a$ en fonction de $u$. Que vaut $u^9$?
	\item V\' erifier que $(1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6+u^7+u^8)(1-u)=1-u^9$.
	\item En d\' eduire que $1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6+u^7+u^8=0$.
	\item Montrer que $1+u^3+u^6=0$.
	\item Montrer que les nombres $a$ et  $b=u^5+u^7+u^8$ sont conjugu\' es.
	\item Conclure.
\end{enumerate}
\textbf{Deuxi\`eme m\' ethode :} Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'origine $O$.
\begin{enumerate}
\item  Repr\' esenter sur le cercle trigono\-m\' etrique de centre $O$, les points $A_0,\,\dots,\,A_8$ d'affixes respectifs $1,\,u,\,u^2,\,\ldots,\,u^8$. Ces points sont les sommets d'un nonagone r\' egulier convexe qu'il est inutile de tracer.\\
Quelle est la nature du triangle $A_0A_3A_6$? pr\'eciser son isobarycentre.\\ \'Evaluer les vecteurs\;
 $\vect{OA_0}+\vect{OA_3}+\vect{OA_6}$,\quad $\vect{OA_0}+\vect{OA_1}+\vect{OA_2}+\vect{OA_3}+\vect{OA_4}+\vect{OA_5}+\vect{OA_7}+\vect{OA_8}$ et \\ $\vect{OA_1}+\vect{OA_2}+\vect{OA_4}+\vect{OA_5}+\vect{OA_7}+\vect{OA_8}$. 
\item Comparer les mesures des angles orientés \;$(\vect{OA_0},\vect{OA_1})$ et $(\vect{OA_0},\vect{OA_8})$, $(\vect{OA_0},\vect{OA_2})$ et\; $(\vect{OA_0},\vect{OA_7})$, $(\vect{OA_0},\vect{OA_4})$ et $(\vect{OA_0},\vect{OA_5})$. En d\' eduire que, par la r\'eflexion d'axe $(OA_0)$, les points $A_1, A_2, A_4$ ont respectivement pour images les points $A_8, A_7, A_5$.\item D\' eduire des questions 1. et 2. que $u+u^2+u^4+u^5+u^7+u^8=0$\;
et que\; $u+u^2+u^4=\overline{u^5+u^7+u^8}$. Conclure.
\end{enumerate}
\textbf{Trois\`eme m\' ethode :} $\theta$ et $\theta'$ sont deux nombres r\' eels.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $e^{i\theta}+e^{i\theta'}=2\cos(\frac{\theta-\theta'}{2})\cdotp e^{i(\frac{\theta+\theta'}{2})}$.\\
	Peut-on affirmer que le module de $e^{i\theta}+e^{i\theta'}$ est $2\cos(\frac{\theta-\theta'}{2})$ et qu'un argument de ce nombre est $\frac{\theta+\theta'}{2}$?
	\item Donner le module et un argument de $e^{\frac{2i\pi}{9}}+e^{\frac{4i\pi}{9}}$.
	\item Montrer que $a=2i\sin{(\frac{4\pi}{9})}$.
\end{enumerate}
\vspace{10mm}
\noindent Pierre Lap\^otre,  Lyc\'ee S. Berthelot, Calais
\smallskip
%IREM de Lille, groupe AMECMI

% 1) pour compilation avec latex
%\includegraphics{amecmi_FondBlanc.eps}
% 2) pour compilation avec pdflatex
\includegraphics{amecmi_FondBlanc.png}

\vfill
\break
%\includegraphics[scale=1.5]{figure_lapotre_80.jpg}
\end{document}

\end{document}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,6)
\pscircle(3,3){3}
\psdot(6,3)\psdot(5.3,4.93)\psdot(3.52,5.95)\psdot(1.5,5.6)\psdot(0.18,4.02)\psdot(0.18,1.97)\psdot(1.5,0.4)\psdot(3.52,0.05)\psdot(5.3,1.07)
\pspolygon(6,3)(1.5,5.6)(1.5,0.4)\pspolygon(5.3,4.93)(0.18,4.02)(3.52,0.05)\pspolygon(3.52,5.95)(0.18,1.97)(5.3,1.07)
\end{pspicture}
\end{center}
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