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\begin{document}
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\fbox{\textsf{ Calcul approché d'intégrales : méthode de Hermite. }}
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\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\newcommand{\dx}{\text{d}x}
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La détermination de primitives de fonctions continues sur un intervalle peut être difficile voire impossible. Pour calculer la valeur d'une intégrale dans ce cas, on est parfois conduit à se contenter d'une approximation (de bonne qualité pour certaines fonctions comme on le verra plus loin).\\L'étude qui suit détaille une méthode faisant intervenir la dérivée de la fonction à intégrer.\\
\textbf{Idée : }On suppose $f$ dérivable sur $[ a ; b ]$ et on cherche à exprimer $\dps\int_a^bf(x)\,\dx$ comme combinaison linéaire des nombres $f(a), f(b), f'(a)$ et $f'(b)$.\\
\textbf{1.} On considère $f$, fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.\\On notera $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ où $a, b, c$ et $d$ sont des réels.\\
\textbf{a.}\  Montrer qu'il existe une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant : $$f(0) = -1\quad f(1) = 1\quad f'(0) = 5\quad f'(1) = 0$$ \textbf{b.}\ \emph{généralisation:}  Montrer qu'étant donné quatre nombres $y_0, y_1, y'_0, y'_1$ il existe une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant : $$f(0) = y_0 \quad f(1) = y_1\quad f'(0) = y'_0\quad f'(1) = y'_1$$ 
	\emph{Indication:} le système 4 équations, 4 inconnues $a, b, c, d$ traduisant les quatre conditions admet toujours une solution.\\\emph{On résoudra ce système à la calculatrice bien qu'une solution rapide à la main soit possible.}\\
	\textbf{c.}\ Peut-on exprimer $\dps\int_0^1f(x)\,\dx$\  comme combinaison linéaire de $f(0), f(1), f'(0)$ et $f'(1)$? c'est à dire existe-t-il 4 nombres $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$ tels que $$\int_0^1f(x)\,\dx = \alpha_0f(0) + \alpha_1f(1) + \beta_0f'(0) + \beta_1f'(1)?\quad (1)$$
	Pour cela on utilise un raisonnement par \emph{analyse et synthèse}:\\
	\textbf{(i.)}\ \emph{analyse:} si ces quatre nombres existent ils doivent, en particulier, convenir pour les fonctions suivantes : $$x\longrightarrow 1\: ;\quad x\longrightarrow x \:;\quad x\longrightarrow x^2 \:;\quad x\longrightarrow x^3$$ \'Ecrire l'égalité $(1)$ pour chacune des quatre fonctions ci-dessus et déterminer les nombres $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$.\\\textbf{(ii.)}\ \emph{synthèse :}
	montrer que les valeurs trouvées précédemment conviennent pour toute fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 3 et établir la formule de Hermite $$\int_0^1f(x)\,\dx = \dfrac{1}{2}\left(f(0) + f(1)\right) + \dfrac{1}{12}\left(f'(0) - f'(1)\right)\quad (2)$$\textbf{d.}\ \emph{application:} utiliser la formule de Hermite (2) pour calculer$\dps\int_0^1f(x)\,\dx$ avec la fonction polynôme du \textbf{1a.} Vérifier par un calcul direct.\\ \textbf{e.}\  \'Etablir la formule de Hermite pour une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 3 sur un intervalle $[ a ; b ]\ (a <  b)$ en utilisant la méthode du \textbf{1.c}$$\int_a^bf(x)\,\dx = \dfrac{(b-a)}{2}\left(f(a) + f(b)\right) + \dfrac{(b-a)^2}{12}\left(f'(a) - f'(b)\right)$$ 
\textbf{2.} \'Etant donné une fonction dérivable quelconque $ \varphi$ sur un intervalle $[ a ; b ]$, on a vu qu'il existe une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant $$f(a) = \varphi(a)\quad f(b) = \varphi(b)\quad f'(a) = \varphi'(a)\quad f'(b) = \varphi'(b)$$ cela signifie que la courbe de $f$ passe par celle de $\varphi$ aux points d'abscisses $a$ et $b$ et y a les mêmes tangentes respectivement.\\ On peut ainsi espérer que la courbe de $f$ n'est pas trop éloignée de celle de $\varphi$, ce qui implique que $\dps\int_a^b\varphi(x)\,\dx$ sera un nombre voisin de $\dps\int_a^b f(x)\,\dx$ ce qui permet d'envisager
$\dfrac{(b-a)}{2}\left(\varphi(a) + \varphi(b)\right) + \dfrac{(b-a)^2}{12}\left(\varphi'(a) - \varphi'(b)\right)$ comme une approximation de $\dps\int_a^b\varphi(x)\,\dx$\\\emph{applications :}\\ 
\textbf{a.} Calculer avec la formule de Hermite une approximation de
	$\dps\int_0^1\dfrac{4x+3}{\sqrt{2x^2+3x+4}}\,\dx.$\\ \textbf{b.} Calculer cette intégrale en déterminant une primitive de la fonction $\varphi$ définie par $\varphi (x) = \dfrac{4x+3}{\sqrt{2x^2+3x+4}}$ sur $[ 0; 1 ]$. Quelle est l'erreur commise en utilisant la formule de Hermite?\\
	\textbf{3.} Critique de la méthode de Hermite.\\
	Les formules de Hermite ne tiennent compte que des valeurs de la fonction $\varphi$ intégrée et des valeurs de sa dérivée aux points $0$ et $1$ (ou $a$ et $b$ suivant le cas). Elle ignore ce que peut faire la fonction $\varphi$ entre ces valeurs. Par conséquent, on se doute qu'elle peut donner des résultats très mauvais pour certaines fonctions, ce que nous montrons ci-dessous : \\
	\textbf{a.} Calculer la valeur exacte de $\dps\int_0^1\varphi(x)\,\dx$, puis sa valeur approchée donnée par la formule de Hermite lorsque $\varphi$ est la fonction $x\longmapsto x^2(1-x)^2$. Quelle est la valeur de l'erreur d'approximation?\\
	\textbf{b.} En déduire que quel que soit le réel $A>0$, on peut trouver une fonction $\varphi$ définie, continue et dérivable sur $[0,1]$ telle que l'erreur d'approximation lorsque l'on calcule $\dps\int_0^1\varphi(x)\,\dx$ par la méthode de Hermite soit plus grande que $A$.\\
	En conclusion, la formule de Hermite n'est intéressante que pour des fonctions vérifiant certaines conditions.\\
\textbf{4.}(facultatif) Utiliser la dérivée seconde permet-il d'améliorer les formules de Hermite?\\
\textbf{a.} \'Etant donné une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 5, déterminer six nombres $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1,\gamma_0,\gamma_1 $ tels que $$\int_0^1f(x)\,\dx = \alpha_0f(0) + \alpha_1f(1) + \beta_0f'(0) + \beta_1f'(1) + \gamma_0f''(0) + \gamma_1f''(1)\quad (2)$$ \emph{s'inspirer de la méthode \textbf{1.c.} où l'on ajoutera les fonctions $x\longrightarrow x^4$ et $x\longrightarrow x^5$}.\\
\textbf{b.} Calculer de deux façons $\dps\int_0^1(x^5-3x^4-7x^3+x^2-2x-1)\,\dx$.\\ \textbf{c.} Reprendre le calcul approché de $\dps\int_0^1\dfrac{4x+3}{\sqrt{2x^2+3x+4}}\,\dx.$ Quelle est l'erreur commise? comparer avec la méthode de Hermite.\\
\textbf{5.}(facultatif) \'Etablir, pour une fonction polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à 5 sur un intervalle $[ a ; b ]\ (a <  b)$ en utilisant la méthode du \textbf{1.c}, l'égalité suivante dont le second membre pourra servir d'approximation dans le calcul d'une intégrale. $$\int_a^bf(x)\,\dx = \dfrac{(b-a)}{2}\left(f(a) + f(b)\right) + \dfrac{(b-a)^2}{10}\left(f'(a) - f'(b)\right)+ \dfrac{(b-a)^3}{120}\left(f''(a) + f''(b)\right).$$ Il existe d'autres méthodes pour calculer des intégrales mais elles ne sont pas au programme de la classe de Terminale. 


\end{document}