\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[fleqn]{amsmath} 
\usepackage{amsthm,amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[gen]{eurosym} 
\usepackage[a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm]{geometry}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{multicol}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcounter{num}%numérote les exos
\renewcommand{\thenum}{\arabic{num}}%met un chiffre romain
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\begin{flushleft}
\fbox{\textbf{Exercice~\thenum~}}\end{flushleft}} }%compteur,dans la texte taper \exo
%{\fbox{\textbf{EXERCICE\thenum}}} 
\newcommand{\R}{\textbf{R}} 
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\D}{\textbf{D}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\newcommand{\Li}{\lim\limits_}
\newcommand{\RE}{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)}
\newcommand{\RES}{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)} 
\newcommand{\RC}{\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)} 
\newcommand {\vect}[1]  {\overrightarrow{\kern-2pt\mathstrut #1\kern2pt}}
\newcommand{\dt}{\text{d}t}
\newcommand{\dx}{\text{d}x}
\newcommand{\e}{\text{e}} 
\newcommand{\I}{\text{i}}
\newcommand{\co}{\mathscr{C}}
\newcommand{\vs}{\vspace{0.3cm}}
\newcommand{\s}{\shadowbox} 
\newcommand{\BM}{\begin{minipage}} 
\newcommand{\EM}{\end{minipage}} 
\newcommand{\h}{\hline\rule[-0.5cm]{0pt}{1cm}}                                        
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
\textsf{TS\qquad Inscrire un triangle équilatéral dans un carré.}
\end{large}
\end{center}
\hrule
\vspace{\baselineskip}
\textbf{Problème : } inscrire un triangle équilatéral dans un carré.\\Les sommets de ce triangle doivent se trouver sur les côtés du carré extrémités exclues. Il y a donc un côté sans sommet.
On note $OUWV$ un carré direct, ce qui permet de considérer le plan rapporté au repère orthonormal $\left(O;\:\vect{OU},\:\vect{OV}\right)$.\\On choisit le côté $[UW]$ comme étant celui sans sommet.\\Ainsi, soit $A$ un point de $]OU[$, $B$ un point de $]VW[$ et $C$ un point de $]OV[$ tels que $ABC$ soit un triangle équilatéral direct.\\
On note $a$ l'affixe de $A$, $b+i$ celle de $B$ et $ci$ celle de $C$. Les nombres $a, b$ et $c$ sont des réels.\\
$ABC$ équilatéral direct signifie que $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.\\
Ce qui se traduit par : $ci-a=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(b+i-a)$ et conduit au système :\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{ll}b&=\sqrt{3}-a\\\sqrt{3}.b-2c&=\sqrt{3}.a-1\end{array}\right.\end{displaymath}
qui a pour solution $b=\sqrt{3}-a$ et $c=2-\sqrt{3}.a$.\\
Ainsi les affixes des points $A, B$ et $C$ sont respectivement : $a, (\sqrt{3}-a)+i$ et $(2-\sqrt{3}.a)i$.\\
Il apparaît immédiatement que le milieu $M$ de $[AB]$ a pour affixe $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)$. C'est un point fixe indépendant de $a$.\\
Ce qui donne un procédé de construction du triangle équilatéral $ABC$ dans le carré $OUWV$ : on choisit $A$ sur $]OU[$ de sorte que la droite $(AM)$ coupe le segment$[VW]$ en $B$. Ayant le côté $[AB]$, on détermine la position de $C$ qui se situe effectivement sur $[OV]$.
\begin{center}
\pspolygon(0,0)(5.8,0)(5.8,5.8)(0,5.8)
\begin{pspicture}(0,0)(6,6)
\rput(-0.2,-0.1){\small$O$}
\pspolygon(4.6,0)(5.4,5.8)(0,3.6)
\psarc(0,0){5.8}{0}{90}
\rput(5.9,-0.2){\small$U$}
\rput(5.9,5.95){\small$W$}
\psdot(5,2.92)\psdot(2.3,1.8)\psdot(3.3,3.1)\psdot(2.7,4.7)
\rput(5.3,5.95){\small$B$}
\rput(-0.2,3.7){\small$C$}
\rput(-0.2,5.9){\small$V$}
\rput(3.5,3.3){\small$G$}
\rput(2.2,1.5){\small$N$}
\rput(5.2,2.9){\small$M$}
\rput(2.5,4.8){\small$P$}
\rput(4.7,-0.2){\small$A$}
\end{pspicture}
\end{center}
Quelles sont les valeurs possibles des réels $a, b$ et $c$?\\
Une position limite de la droite $(AM)$ étant lorsque les points $A, M$ et $W$ sont alignés, on en déduit que $a$ doit être compris entre $\sqrt{3}-1$ et $1$. De même pour $b$. Quant à $c$, il est compris entre $2-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}-1$.\\
\emph{Remarques : } si ces encadrements ne sont pas respectés, le triangle équilatéral sort du carré. Ses côtés restant sur les supports de trois des côtés du carré.\\On observe que les milieux $N$ et $P$ des côtés $[AC]$ et $[BC]$ sont situés sur des droites fixes ainsi que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.

\vfill

\noindent Pierre Lap\^otre,  Lyc\'ee S. Berthelot, Calais
\smallskip

\includegraphics{amecmi_FondBlanc.eps}


\end{document}