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\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\newcommand{\RE}{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)}
\newcommand{\Li}{\lim\limits_}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
\fbox{\hspace{2cm}\textbf{La Versiera d'Agnesi}\hspace{2cm}}
\end{huge}
\end{center}
\par
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\vspace{1\baselineskip}
\begin{Large}\textbf{\'Enoncé}\footnote{Pierre Lapôtre. Lycée S.Berthelot.Calais.}\\\end{Large}\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\RE$. Soit $a$ un réel non nul.\\ On nomme $A$ le point de coordonnées $(0,a)$, $\mathscr{C}$ est le cercle de diamètre $[OA]$, son centre est $I$.\\$(T)$ est la tangente en $A$ à $\mathscr{C}$.\\
Pour $t$ appartenant à \textbf{R}$-\{0\}$, on note $(D_t)$ la droite d'équation $y=tx$. $(D_t)$ recoupe $\mathscr{C}$ en  $H$ et coupe $(T)$ en $K$.\\
$(x_h,y_h)$ et $(x_k,y_k)$ sont les coordonnées respectives de $H$ et $K$.\\
$M$ est le point de coordonnées $(x_k,y_h)$.\\
L'objectif est d'étudier le lieu de $M$ lorsque $t$ décrit \textbf{R}$-\{0\}$ et d'établir une propriété de la courbe obtenue.\\
Dans les questions 1., 2. et 3. on prendra $a=2$.\\
\begin{enumerate}
	\item A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, réaliser une figure correspondant à la situation décrite. Faire apparaître le lieu de $M$.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure construite.}\end{flushright}\vspace{3mm}\item Exprimer les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.\item Montrer que $M$ est situé sur la courbe d'équation $y=\dfrac{8}{x^2+4}$.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification.}\end{flushright}\vspace{3mm} \item Plus généralement, on démontre que le lieu de $M$ est la courbe d'équation \\$y=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}$ appelée \og Versiera d'Agnesi\fg \:ou \og sorcière d'Agnesi\fg.\\On considère alors la fonction $f$ définie sur \textbf{R} par : $f(x)=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}$.\\La fonction $f$ étant continue sur \textbf{R}, elle y admet des primitives, parmi lesquelles on nomme $F$ celle qui s'annule pour $0$.
\begin{description}
	\item[a.] En calculant la dérivée de la fonction $\varphi$ définie sur \textbf{R} par $\varphi(x)=F(x)+F(-x)$, montrer que $F$ est une fonction impaire.\item[b.]  En calculant la dérivée de la fonction $\psi$ définie sur $]0,+\infty[$ par \\$\psi(x)=F(x)+F(\frac{a^2}{x})$, montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et que cette limite est égale à $\psi(a)=2F(a)$.\item[c.]On considère la fonction $G$ définie sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ par : $G(u)=F(a\tan u)$.\\En calculant la dérivée de la fonction $G$, trouver une expression simple de $G(u)$.\item[d.]En déduire $F(a)$. On admet que l'aire du domaine limité par la \og sorcière d'Agnesi\fg \:et l'axe des abscisses est obtenue par $\dps{\lim_{x\to+\infty}\dps\int_{-x}^{x} f(v)\text{d}v}$ en U.A. \\Vérifier que cette aire est égale à 4 fois l'aire du disque de diamètre $[OA]$.   
\end{description}
 
\end{enumerate}
 \setlength{\parindent}{0mm}
% à gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage} 


\end{document}