\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
\fbox{\hspace{2cm}\textbf{Formule des cinq niveaux}\hspace{2cm}}
\end{huge}
\end{center}
\par
\hfill\par
\vspace{1\baselineskip}
\noindent\begin{Large}\textbf{\'Enonc\'e}\end{Large}\vspace{5mm}\\
L'objectif est d'approcher le calcul de l'int\'egrale d'une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$ par une combinaison lin\'eaire de valeurs de cette fonction en des points particuliers de $[a\,;b]$.
On note $p_i$ la fonction polyn\^{o}me d\'efinie sur $[0\,;1]$ par $p_i(x)=x^{i}$ pour $i=0,\ldots 4$.\\ Par convention $p_0(x)=1$ sur $[0\,;1]$.\vspace{2mm}\\
1). Exprimer que les coefficients r\'eels $a, b, c, d, e$ sont tels que, pour $i=0,\ldots 4$:\\
$$\int_0^1p_i(x)dx=a.p_i(0)+b.p_i\left(\frac{1}{4}\right)+c.p_i\left(\frac{1}{2}\right)+d.p_i\left(\frac{3}{4}\right)+e.p_i(1)$$
On obtiendra un syst\`eme de cinq \'equations \`a cinq inconnues que l'on r\'esoudra \`a la calculatrice. Cr\'eer une liste avec les cinq solutions trouv\'ees $a, b, c, d, e$ dans l'ordre.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour v\'erification }\end{flushright}\vspace{3mm} On admet que lorsque $f$ est une fonction continue sur $[0\,;1]$,\\ $$\dfrac{1}{90}\left(7f(0)+32f\left(\frac{1}{4}\right)+12f\left(\frac{1}{2}\right)+32f\left(\frac{3}{4}\right)+7f(1)\right)$$ est une bonne approximation de $\dps\int_0^1f(x)dx$. On appellera cette expression la \emph{formule des cinq niveaux}.\\
2). On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $[0\,;1]$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}$. Cr\'eer une deuxi\`eme liste contenant dans l'ordre:$\{f(0),f\left(\frac{1}{4}\right),f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(\frac{3}{4}\right),f(1)\}$ et \'evaluer, gr\^ace \`a la formule donn\'ee $\dps\int_0^1\dfrac{2x+1}{x+3}dx$.\\
Calculer la valeur exacte de cette int\'egrale. (On remarquera que, pour tout $x\in[0;1] $ \qquad $f(x)=2-\dfrac{5}{x+3}$). Quel est l'\'ecart avec la valeur trouv\'ee en utilisant la formule pr\'ec\'edente?\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour v\'erification }\end{flushright}\vspace{3mm}
3). Proposer une am\'elioration de la m\'ethode ; \`a d\'efaut, \'etablir la  \emph{formule des neuf niveaux} :
\arraycolsep0pt
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^1f(x)dx\,\approx\,\\
 \frac{1}{28350}(989f(0)+5888f(\frac{1}{8})&-&928f(\frac{1}{4})+10496f(\frac{3}{8})\\
 &-&4540f(\frac{1}{2})+10496f(\frac{5}{8})-928f(\frac{3}{4})+5888f(\frac{7}{8})+989f(1)).
\end{eqnarray*}
\arraycolsep5pt
\end{document}


