% classe du document
\documentclass[12pt]{article}

% mise en page
\usepackage[paper=a4paper, portrait=true, twoside=false, left=1cm,
top=1cm, nohead, nomarginpar, includefoot, centering=true]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,mathrsfs,graphics,graphicx,pstricks}
% changer "utf8" en "latin1" selon la configuration
\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage[frenchb]{babel}
%\frenchbsetup{og = Â«, fg = Â»}
\DecimalMathComma

% fontes latin modern
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}

% pas d'entÃªte
% numÃ©ro de page centrÃ© en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\newcommand{\RE}{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)}
% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de prÃ©sentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alinÃ©a en dÃ©but de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% Ã  gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activitÃ©
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Le cercle de Monge}

    Fiche élève
  \end{center}
\end{minipage}
% Ã  droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge TS }
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, Ã  droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteur :  Pierre Lapôtre
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Corps de l'activitÃ© %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\RE$, on considère la courbe $\mathscr{F}$ représentative de la fonction $f$ définie sur $[-4,4]$ par $f(x)=\dfrac{3}{4}\sqrt{16-x^2}$. \\Soit $M_0$ et $M_1$ deux points  de $\mathscr{F}$ d'abscisses respectives $x_0$ et $x_1$ vérifiant : \begin{center}$-4<x_0<0$ et $0<x_1<4$\end{center} On note $T_0$ la tangente à $\mathscr{F}$ en $M_0$,\;$T_1$ la tangente à $\mathscr{F}$ en $M_1$ . $T_0$ et $T_1$ sont sécantes en $P$.
\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire une figure correspondant à cette description.\\ Déplacer le point $M_0$ ou le point $M_1$ de sorte que $T_0$ et $T_1$ soient perpendiculaires. Envisager plusieurs positions de $M_0$ et de $M_1$ permettant de réaliser cette condition. (on pourra afficher la mesure de l'angle $\widehat{M_0PM_1}$ et éventuellement modifier les paramètres de déplacement du point $M_0$)\\\'Emettre une conjecture sur le lieu de $P$ lorsque $x_0$ décrit $]-4,0[$, $T_0$ et $T_1$ étant perpendiculaires.\vspace{2mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure construite et validation de la conjecture émise.}\end{flushright}\vspace{2mm}Pour la suite, on pourra utiliser un logiciel de calcul formel.\item Donner le coefficient directeur $m$ de $T_0$ en fonction de $x_0$.\\Comparer les signes de $x_0$ et de $m$.\item On fixe $m$.\\ Trouver alors l'abscisse $x_0$ du point de contact de la tangente à $\mathscr{F}$ en fonction du coefficient directeur $m$.\\ En déduire que cette tangente a pour équation : \mbox{ $y=mx+\sqrt{16m^2+9}$}. \vspace{2mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification.}\end{flushright}\vspace{2mm}\item On considère un point $P$ de coordonnées $(x_2, y_2)$ vérifiant :
\begin{center}
(i)\qquad ($\left|x_2\right|<4$ et $f(x_2)<y_2$)\end{center} 
\begin{description}
\item[a.]Montrer que si une droite de coefficient directeur $m$ passant par $P$ est tangente à $\mathscr{F}$ alors $m$ est solution de\begin{center}(E)\qquad $m^2(x_2^2-16)-2mx_2y_2-9+y_2^2=0$.\end{center} 
	\item[b.]Montrer que cette équation possède deux solutions lorsque la conditions (i) est réalisée. Lorsque (i) est réalisée, on peut donc mener de $P$ deux tangentes à $\mathscr{F}$.\item[c.] Sur quelle ligne se situe le point $P$ lorsque le produit des solutions de l' équation (E) est égal\\à $-1$? Interpréter.
	\end{description}
	
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\emph{Production écrite : } rédaction complète des questions 2, 3 et 4.\\
\emph{Commentaire : }si on trace le symétrique $\mathscr{G}$ de $\mathscr{F}$ par rapport à l'axe des abscisses, on obtient une courbe fermée, réunion de $\mathscr{F}$ et de $\mathscr{G}$ appelée \emph{ellipse}. On démontre que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à l'ellipse est un cercle, appelé cercle de Monge de l'ellipse, dont nous venons de trouver un arc.

\end{document}