\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
\fbox{\hspace{2cm}\textbf{Parallélogramme de Wittenbauer}\hspace{2cm}}
\end{huge}
\end{center}
\par
\hfill\par
\vspace{1\baselineskip}
\begin{Large}\textbf{\'Enoncé}\footnote{Pierre Lapôtre. Lycée S.Berthelot.CALAIS}\\\end{Large}\\
On considère un quadrilatère convexe $ABCD$. On partage chacun des segments $[AB],[BC], [CD], [DA]$ en trois segments égaux et on joint les points ainsi obtenus deux à deux comme dans la figure ci-dessous.\\
%\documentclass[10pt]{article}
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%\makeatletter
%\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
%\psset{transpalpha=1}
%\def\psfs@transp{%
 % \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  %\psfs@solid}
%\begin{document}
%\psset{xunit=0.5015723270440252cm,yunit=0.5000000000000001cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4.3,-3.92)(8.42,6.3)
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-3.92)(8.42,6.3)
%\pspolygon[linecolor=red,fillcolor=red,fillstyle=transp,transpalpha=0.1](0.28,1.6)(3.52,5.84)(6.2,3.52)(2.74,0.36)
%\pspolygon[linecolor=green,fillcolor=green,fillstyle=transp,transpalpha=0.1](1,0.47)(4.95,1.75)(5.47,5.41)(1.52,4.13)
%\psline[linecolor=red](0.28,1.6)(3.52,5.84)
%\psline[linecolor=red](3.52,5.84)(6.2,3.52)
%\psline[linecolor=red](6.2,3.52)(2.74,0.36)
%\psline[linecolor=red](2.74,0.36)(0.28,1.6)
%\psline[linecolor=green](1,0.47)(4.95,1.75)
%\psline[linecolor=green](4.95,1.75)(5.47,5.41)
%\psline[linecolor=green](5.47,5.41)(1.52,4.13)
%\psline[linecolor=green](1.52,4.13)(1,0.47)
%\end{pspicture*}
%\end{document}
\begin{center}
%\begin{pspicture}(0,-2)(5,5)
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5.9,4)
%\pspolygon(0,0)(3,-1)(4.2,5)(-1,2.1)
\pspolygon[linecolor=red](0.44,0.36)(1.6,2.52)(5.14,3.4)(4.96,0.18)
\rput(0.2,0.3){\small$A$}
%\pspolygon(-0.85,1.12)(1.8,-0.9)(4.48,2.35)(1.85,4.35)
\pspolygon[linecolor=green](0.48,1.32)(3.61,3.35)(5.85,1.79)(2.72,-0.24)
\rput(1.3,2.5){\small$B$}
\rput(5.4,3.4){\small$C$}
\psdot(0.83,1.08)\psdot(1.21,1.8)\psdot(3.96,3.11)\psdot(2.78,2.81)\psdot(5.08,2.33)\psdot(5.02,1.25)\psdot(1.95,0.3)\psdot(3.45,0.24)
\rput(5.2,0.2){\small$D$}
%\rput(-1.2,1.1){\small$S$}
%\rput(1.8,4.6){\small$R$}
%\rput(1.9,-1.1){\small$P$}
%\rput(4.6,2.6){\small$Q$}
\end{pspicture}
\end{center}
Il semble que le quadrilatère $PQRS$ soit un parallélogramme et on s'intéresse à quelques  points particuliers de cette figure.\\
On note $I$ l'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$, $O$ celle des droites $(PR)$ et $(QS)$, enfin $G$ est l'isobarycentre des points $A, B, C, D$.\\
1) Réaliser à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique une figure correspondant à cette description en faisant apparaître les quadrilatères $ABCD$ et $PQRS$, les segments $[AC]$ et $[BD]$, ainsi que les points $I, O, G$.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure construite}\end{flushright}\vspace{3mm}
2) Quelle conjecture peut-on formuler à propos des droites $(RS), (AC), (PQ)$ ? puis des droites $(PS), (BD), (QR)$?\\Quelle conjecture peut-on formuler à propos  des points $O,I, G$ ?\\
Utiliser le logiciel pour évaluer le rapport $\dfrac{IG}{IO}$.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification }\end{flushright}\vspace{3mm}
3) Prouver que le quadrilatère $PQRS$ est un parallélogramme.\\On note $V$ l'intersection des droites $(AC)$ et $(PS)$, $W$ celle des droites $(BD)$ et $(PQ)$.\\
\'Etablir que $IVPW$est un parallélogramme. Exprimer $\overrightarrow{IP}$ en fonction de $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$. \' Ecrire des relations analogues pour les vecteurs $\overrightarrow{IQ}$, $\overrightarrow{IR}$, $\overrightarrow{IS}$. Conclure.
\end{document}