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\newcounter{num}%num\'erote les exos
\renewcommand{\thenum}{\arabic{num}}%met un chiffre romain
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\fbox{\textbf{Exercice~\thenum~}}\end{flushleft}} }%compteur,dans la texte taper \exo
%{\fbox{\textbf{EXERCICE\thenum}}} 
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\begin{document}
\pagestyle{empty}\begin{center}
%\begin{huge}
\fbox{\hspace{1cm}\textbf{\Large OMBRE D'UN TRIANGLE}\hspace{1cm}}
%\end{huge}
\end{center}
\par
\hfill\par
\vspace{1\baselineskip}
\textbf{\Large\'Enonc\'e} \vspace{1cm}\\
L'espace est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $\RES$. On consid\`ere les points $A, B$ et $S$ de coordonn\'ees respectives $(3\,;0 \,; 0), (0\,; 4\,; 0)$ et $(0\,; 0\,; 5)$. $C$ d\' esigne un point  de l'espace tel que $ABC$ soit un triangle rectangle isoc\`ele d'hypot\'enuse $[AB]$.\\On assimile le triangle $ABC$ \`a une plaque opaque triangulaire pivotant autour de l'axe $(AB)$ et le point $S$ \`a une source lumineuse. L'objectif est de d\'eterminer la position du triangle donnant une ombre sur le plan $(Oxy)$ d'aire maximale.\\
\begin{enumerate}
	\item R\'ealiser \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique une figure permettant de visualiser les \'el\'ements d\'ecrits. En particulier, on pr\' ecisera la courbe de l'espace sur laquelle se trouve le point $C$ et on fera appara\^itre l'ombre du triangle $ABC$ hachur\'ee ou en couleur. Utiliser le logiciel pour obtenir une r\'eponse au probl\`eme pos\'e.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour v\'erification de la figure construite.}\end{flushright}\vspace{3mm}
	\item On note $P$ le point d'intersection de la droite $(SC)$ avec le plan $(Oxy)$, $H$ le milieu de $[AB]$ et $\vec{n}$ le vecteur de coordonn\'ees $(\frac{4}{5}\,;\frac{3}{5}\,; 0)$.\\
	Que repr\'esente le vecteur $\vec{n}$ pour la droite $(AB)$? On notera $t$ une mesure de l'angle orient\'e $(\vec{n}\,;\,\vect{HC})$ et on se limitera \`a $t\in[0\,;\dfrac{\pi}{2}]$. Exprimer le vecteur $\vect{HC}$ comme combinaison lin\'eaire des vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{k}$.\\D\'eterminer alors les coordonn\'ees de $C$ et $P$ en fonction de $t$.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour v\'erification.}\end{flushright}\vspace{3mm}
	\item  \`A l'aide d'un logiciel de calcul formel, \'evaluer en fonction de $t$ la distance $\varphi(t)$ de $P$ \`a la droite $(AB)$, d\'eterminer la d\'eriv\'ee de cette fonction $\varphi$, ses variations. V\'erifier qu'elle admet un maximum sur $[0\,;\dfrac{\pi}{2}]$.\\Indiquer la valeur fournie par le logiciel pour ce maximum. En d\'eduire l'aire maximale de l'ombre du triangle $ABC$, comparer ce r\'esultat avec celui obtenu avec le logiciel  de g\'eom\'etrie dynamique. Donner aussi la valeur de $t$ correspondante.\vspace{3mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour v\'erification.}\end{flushright}
\end{enumerate}
\vspace{10mm}
\noindent Pierre Lap\^otre,  Lyc\'ee S. Berthelot, Calais

\includegraphics[scale=0.2]{irem_en_h500.jpg}

Groupe AMECMI

\end{document}