% classe du document
\documentclass[12pt]{article}

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%\frenchbsetup{og = ¬´, fg = ¬ª}
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% fontes latin modern
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}
% pas d'entête
% num\' ero de page centr\' e en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de pr\' esentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alin\' ea en d\' ebut de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% \`a gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activit\' e
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Algorithme de Babylone Programmation avec Xcas} 

    Fiche \' el\`eve
  \end{center}
\end{minipage}
% \`a droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge 1\iere}
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, \`a droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteur : Pierre Lap\^otre
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Corps de l'activit\' e %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{I. Exp\'erimentation}\vspace{0.3cm}\\
\'Etant donn\'e un entier naturel  $a$, on se propose d'\'evaluer $\sqrt{a}$ par des rationnels.\\
Pour cela, on part d'un entier naturel non nul $u$ et on le remplace par $\dfrac{1}{2}\left(u+\dfrac{a}{u}\right)$. On r\'ep\`ete ensuite 9 fois ce proc\'ed\'e, ce qui nous donne 10 valeurs successives de $u$. Cela se traduit par l'algorithme suivant : 
\begin{itemize}
 \item \'Etape 1 : choisir un entier naturel non nul $u$ (ci-dessous, on a choisi $u=a+1$).
 \item \'Etape 2 : remplacer $u$ par $\dfrac{1}{2}\left(u+\dfrac{a}{u}\right)$.
 \item \'Etape 3 : retourner \`a l'\'etape 2 (9 fois de suite).
 \item \'Etape 4 : afficher les 10 valeurs successives de $u$.
\end{itemize}
Voici un programme Xcas d\'ecrivant cet algorithme.
\begin{lstlisting}[morekeywords=local]
bab(a):={
local j,u,L;
u:=a+1;
L:=NULL;// L sera la suite des valeurs de u
for(j:=1;j<=10;j++) {u:=(u+a/u)/2;L:=L,evalf(u);}  
return L;
}
:;
\end{lstlisting}
On constatera la rapidit\'e de convergence de $u$ en calculant $\sqrt{2}$ \`a l'aide de la  commande :\\
\texttt{bab(2)}\vspace{0.3cm}\\
\textbf{II. Probl\`eme}\vspace{0.3cm}\\
Soit $a$ un r\'eel strictement positif. On consid\`ere la suite r\'eelle $(u_n)$ d\'efinie par la donn\'ee de $u_0$, strictement positif, et, pour tout $n\in\N$,\quad $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)$
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{description}
	\item[a] D\'emontrer que, pour tout $n\in\N$, \quad $u_n>0$.\item[b] D\'eterminer $u_0$ pour que $(u_n)$ soit une suite constante.
\end{description}
\item Dans la suite du probl\`eme, on supposera que $u_0^2\neq a$.
\begin{description}
	\item[a]  D\'emontrer que, pour tout $n\in\N$, \\ $u_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt{a})^2$ et\quad $u_{n+1}+\sqrt{a}=\dfrac{1}{2u_n}(u_n+\sqrt{a})^2$.\item[b] D\'emontrer que $(u_n)$ est strictement d\'ecroissante pour $n\geqslant 1$. En d\'eduire que $(u_n)$ converge. 
\end{description}
\item On consid\`ere la suite $(v_n)$ d\'efinie pour tout $n\in\N$ par $v_n=\dfrac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}$. 
\begin{description}
	\item[a] Calculer, pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.\item[b] Calculer, pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_1$ et de $n$.\item[c] En d\'eduire $\dps \lim_{n\to+\infty}v_n$. 
\end{description}
\item D\'eterminer $\dps \lim_{n\to+\infty}u_n$.
\end{enumerate}
\textbf{Prolongement} : avec $a=2$ et $u_0=3$, montrer successivement que : $u_1-\sqrt{2}<\dfrac{1}{2}$, \;$u_2-\sqrt{2}<10^{-1}$, \;$u_3-\sqrt{2}<10^{-2}$, \;$u_4-\sqrt{2}<10^{-4}$\;\dots\; ce qui permet d'appr\'ecier la qualit\'e de l'approximation.

\end{document}