% classe du document
\documentclass[12pt]{article}

% mise en page
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top=1cm, nohead, nomarginpar, includefoot, centering=true]{geometry}

% changer "utf8" en "latin1" selon la configuration
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%\usepackage[latin1]{inputenc} 
%\usepackage[frenchb]{babel}
%\frenchbsetup{og = ¬´, fg = ¬ª}
\DecimalMathComma

% fontes latin modern
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{listings}
\lstset{language=C++,frame=single}
% pas d'entête
% num\' ero de page centr\' e en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\newcommand{\BC}{\begin{center}}
\newcommand{\EC}{\end{center}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de pr\' esentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alin\' ea en d\' ebut de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% \`a gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activit\' e
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Suite de Syracuse Programmation avec Xcas} 

    Fiche \' el\`eve
  \end{center}
\end{minipage}
% \`a droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge 1\iere}
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, \`a droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteur : Pierre Lap\^otre
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Corps de l'activit\' e %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On consid\`ere l'algorithme suivant :
\begin{itemize}
	\item \'Etape 1 : choisir un entier naturel non nul $n$.\item \'Etape 2 : si $n=1$, alors l'algorithme s'arr\^ete. Sinon aller \`a l'\'etape 3.\item \'Etape 3 : si $n$ est pair, remplacer $n$ par $\dfrac{n}{2}$. Sinon, remplacer $n$ par $3n+1$. Retourner \`a l'\'etape 2. 
\end{itemize}

\textbf{Exemple} : pour $n=13$, les valeurs successives de $n$ sont,\BC$40,\; 20,\; 10,\; 5,\; 16,\; 8, \;4,\; 2,\; 1$ \EC Cette liste est appel\'ee \emph{suite de Syracuse} associ\'ee \`a 13.\\

\` A l'heure actuelle, on ignore si, pour tout entier naturel non nul $n$, la liste des valeurs successives associ\'ees \`a $n$ est finie et se termine par $1$. On pense que c'est vrai, mais ce n'est pas démontré. Cette conjecture est appelée \og conjecture de Syracuse\fg.\\

On a adopt\'e un vocabulaire a\'eronautique pour d\'ecrire la suite de Syracuse associ\'ee \`a un entier naturel non nul $n$. Ainsi, on dit que cette suite est le \emph{vol} de $n$, le nombre de termes de cette suite est la \emph{dur\'ee} du vol, le terme le plus grand du vol est son \emph{altitude maximale} \;(*).\\

Le programme Xcas suivant permet d'afficher, pour tout entier naturel non nul $n$, la dur\'ee de son vol, son altitude maximale et son vol.\vspace{0.3cm}
\begin{lstlisting}[morekeywords=local]
syr(n):={
local j,L;
j:=n;
L:=NULL;
while(j!=1){if(frac(j/2)==0){j:=j/2} else {j:=3*j+1};L:=L,j;}  
print("Pour "+n+", la duree du vol est "+size(L)+", l'altitude 
maxi est "+max(L));
return L;
}
:;
\end{lstlisting}

\textbf{Exemple} : $13$ a un vol de dur\'ee $9$, son altitude maximale est $40$.\\

\textbf{Question} : En consid\'erant des entiers de la forme $2^p, \; p\in\N$, on constate que l'on peut trouver des entiers pour lesquels la dur\'ee du vol est aussi grande que l'on veut et pour lesquels l'altitude maximale est aussi grande que l'on veut. Pourquoi?\\
\vfill (*)\;voir \og Pour la science\fg\; $n^{o}$ 247
\end{document}
