% classe du document
\documentclass[12pt]{article}

% mise en page
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top=1cm, nohead, nomarginpar, includefoot, centering=true]{geometry}
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% changer "utf8" en "latin1" selon la configuration
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%\frenchbsetup{og = Â«, fg = Â»}
\DecimalMathComma

% fontes latin modern
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}

% pas d'entÃªte
% numÃ©ro de page centrÃ© en pied de page
\usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{}
\lfoot{} \cfoot{\thepage} \rfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\newcommand{\RE}{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)}
\newcommand {\vect}[1]  {\overrightarrow{\kern-2pt\mathstrut #1\kern2pt}}
% inclusion de graphiques
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Cadre de prÃ©sentation %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pas d'alinÃ©a en dÃ©but de paragraphe
\setlength{\parindent}{0mm}
% Ã  gauche : logo AMECI 
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushleft}
    \includegraphics[width=2.5cm]{amecmi}
  \end{flushleft}
\end{minipage}
% au centre : titre de l'activitÃ©
\begin{minipage}{14cm}
  \begin{center}
    {\bf \Huge Promenade sur une arête}

    Fiche élève
  \end{center}
\end{minipage}
% Ã  droite : niveau
\begin{minipage}{2.5cm}
  \begin{flushright}
    {\Huge TS }
  \end{flushright}
\end{minipage}
% en-dessous, Ã  droite : nom de l'auteur
\begin{flushright}
  Auteur :  Pierre Lapôtre
\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Corps de l'activitÃ© %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$.\\$I$ est un point libre du segment $[EF]$. $d$ est la droite passant par $B$ et orthogonale au plan $(AIG)$. $d$ coupe $(AIG)$ en $J$ et $(ADE)$ en $K$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,6.5)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)(0,5)
\psline(5,0)(7,1)(7,6)(5,5)
\psline(0,5)(2,6)(7,6)
\psline(0,0)(3,5)(7,6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1)(7,1)
\psline[linestyle=dashed](2,1)(2,6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7,6)
\qdisk(3,5){2pt}
\qdisk(0.8,3.3){2pt}
\qdisk(2.6,1.8){2pt}
\uput[dl](0,0){$A$}
\uput[d](5,0){$B$}
\uput[r](7,1){$C$}
\uput[d](2,1){$D$}
\uput[l](0,5){$E$}
\uput[dr](5,5){$F$}
\uput[r](7,6){$G$}
\uput[u](2,6){$H$}
\uput[d](2.6,1.8){$J$}
\uput[dr](3,5){$I$}
\uput[d](0.8,3.3){$K$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Construire la figure en faisant apparaître, outre le cube, les points $I, J$ et $K$.\item 
\begin{description}
	\item[a.] Quel semble être l'ensemble des points $K$ lorsque $I$ décrit le segment $[EF]$?\item[b.]Quel semble être l'ensemble des points $J$ lorsque $I$ décrit le segment $[EF]$?  
\end{description}
\vspace{2mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification de la figure construite et validation des conjectures émises.}\end{flushright}\vspace{2mm}On munit l'espace du repère orthonormal $(A;\; \vect{AB},\;\vect{AD},\;\vect{AE})$ et on note $\alpha$ l'abscisse du point $I$.
\item Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n}$ du plan $(AIG)$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $d$.\\Quelles sont les coordonnées du point $K$? Justifier ainsi la conjecture émise à la question 2.a.\item Indiquer la position relative des droites $d$ et $(JA)$, puis celle des droites $d$ et $(JG)$. En déduire sur quelle ligne se situe le point $J$.\item Le point $J$ associé à $\alpha=0$ est noté $J_0$, celui associé à $\alpha=1$ est noté $J_1$, enfin celui associé à $\alpha=\frac{1}{2}$ est noté $J_\frac{1}{2}$.\\Afficher les distances $OJ_0$, $OJ_1$ et $OJ_\frac{1}{2}$ où $O$ est le point de coordonnées $(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6})$. Afficher également une mesure des angles $\widehat{J_0OJ_1}$ et $\widehat{J_0OJ_\frac{1}{2}}$. \\ Afficher aussi la distance $OJ$ pour tout point $J$ obtenu par déplacement du point $I$.\vspace{2mm}\begin{flushright}\fbox{Appeler l'examinateur pour vérification.}\end{flushright}\vspace{2mm}  Cela confirme-t-il le résultat obtenu à la question 4?\\ Justifier ces résultats par des calculs puis conclure.  
\end{enumerate}	
\emph{Production écrite : } rédaction complète des questions 3, 4 et 5.

\end{document}