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Sept exercices sur "VI - Représentations graphiques & géométrie"

vendredi 30 octobre 2009

Énoncé n° 1 : Tracer les droites D1 et D2 d’équations $y=-\frac{\pi}{4}\cdotp x+\cos{(2)}$ et $y=2\cdotp x+3$ dans le but de trouver graphiquement l’abscisse de leur point d’intersection. Retrouver ce nombre par le calcul.

Niveau de difficulté : [*]

Commentaires scilab : Voir le fichier « Commentaires » ci-dessous et le script scilab commenté : « SectionDroites.sci ». Utilisation répétée de « plot » pour représenter les deux droites sur le même graphique et du zoom graphique. Le repère n’a pas besoin d’être orthonormé.

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Énoncé n° 2 : Tracer le graphe (G) de la parabole d’équation $y=x^2$ pour $x$ variant entre -3 et 3, puis tracer sur le même repère le translaté (Gtrans) de (G) dans la translation de vecteur directeur (1,2). Quelle est l’équation de la parabole (Gtrans) ?

Niveau de difficulté : [**]

Commentaires scilab : Utilisation de la commande « plot » pour tracer deux courbes sur le même repère et d’une boucle « pour ». Ce script est commenté.


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Énoncé n° 3 : Tracer le graphe de la fonction $f(x)=sin^2(x)+cos^2(x)$ sur l’intervalle [-3,4]. Que peut-on constater ?

Niveau de difficulté : [*]

Commentaires généraux : On ne peut pas conclure que cette fonction est constante et égale à 1. On constate seulement que pour les valeurs de x choisies, f(x)=1. Le procédé utilisé ne permet pas d’affirmer qu’entre 2 points calculés du graphe, même si leurs abscisses sont très voisines, la fonction reste égale à 1.

Commentaires détaillés Scilab : la commande « x=linspace(a,b,n) » définit une liste (un vecteur) de n valeurs régulièrement espacées de a (compris) à b (compris). À noter que la commande « plot », très simple, ajuste le graphe et l’échelle automatiquement. Le repère est orthogonal sans être nécessairement orthonormal.


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Énoncé n° 4 : Tracer le polygone ABCDA défini par : A(-1 ;3), B(2 ;4), C(1 ;7) et D(-2 ;6). Que peut-on en dire ?

Niveau de difficulté : [*]

Commentaires généraux : C’est un de ces exercices où l’on doit connaître la façon dont les graphes sont tracés : ici, on place 5 points (les sommets du polygone, le premier étant répété pour le fermer) et le tracé joint automatiquement deux points consécutifs par un segment.

Commentaires Scilab : C’est un carré. En effet, c’est un parallélogramme car $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , un losange car $AB=BC$ et un carré car on peut démontrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont des vecteurs orthogonaux. Scilab ajustant automatiquement ses tracés, si on n’utilise pas la commande « orthonorme() », le repère qui apparaît n’est pas orthonormal et ABCDA n’a pas du tout l’air d’un carré tout en paraissant être un parallélogramme (image ci-dessous). La commande
« orthonorme() » qui est une commande très pratique de Scilab pour les lycées non reconnue actuellement par Scilab impose que le repère soit orthonormé et alors ABCDA a bien l’air d’un carré, ce qu’il faut de toute façon démontrer.


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Énoncé n° 5 : Tracer le cercle de centre le point (1,2) et de rayon $\sqrt{3}$ .

Niveau de difficulté : [***]

Commentaires généraux : Les systèmes utilisés ne sont pas faits pour tracer des figures de géométrie. Il vaut mieux employer un logiciel spécialisé. Cela peut se justifier quand on fait simultanément des calculs. Les logiciels de géométrie ainsi que les logiciels de calcul placent des points du cercle et les rejoignent par des segments. Si l’on utilise suffisamment de points, ces cercles paraissent bien ronds. Pourtant, il s’agit en fait de polygones inscrits dans un cercle, mais nos yeux sont trompés.

Commentaires Scilab : La difficulté rencontrée ici est : comment tracer sur un même repère orthonormé deux courbes (les demi-cercles supérieur et inférieur). Rappelons que l’équation du cercle proposé est $(x-1)^2+(y-2)^2=3$ , ce qui fait que les demi-cercles supérieur et inférieur sont les graphes des fonctions $Ys(x)=2+\sqrt{3-(x-1)^2}$ et $Yi(x)=2-\sqrt{3-(x-1)^2}$ . Le script ci-dessous est commenté. Le repère est orthonormé grâce à la commande "square". La commande "orthonorme()" ne semble pas fonctionner. "plot" est très simple mais assez rustique. On peut faire mieux mais en plus compliqué.


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Énoncé n° 6 [**] : On considère les fonctions $f(x)=\frac{cos{(x)}\cdotp e^{-x^2}}{1+x^2}$ et $g(x)=-1+x+x^2$ . Pour quelles valeurs de $x$ sont-elles égales ? (on admettra que l’équation $f(x)=g(x)$ ne peut pas avoir de solution en dehors de l’intervalle $[-2,1]$ ).

Niveau de difficulté : [**]

Commentaires scilab : Utilisation du zoom pour agrandir le graphe (détaillée dans l’exercice Intersection de deux droites). L’algorithme proposé dans « AF_f-g.sci » permet, ce qui n’est pas demandé, de choisir le nombre $n$ de points utilisés pour tracer le graphe de $f-g$ (et étudier ses intersections avec l’axe des $x$ ). En donnant à $n$ la valeur 3 puis la valeur 300 (par exemple), on voit bien comment scilab trace les graphes.

Énoncé n° 7 [***] : On désire tracer des polygones réguliers inscrits dans le cercle-unité dont le premier sommet sera le point $(1,0)$ .

Pour cela, écrire l’algorithme d’une fonction qui à tout entier $n\ge 2$ associe la liste des abscisses et la liste des ordonnées du polygone à $n$ côtés.
Donner ensuite la suite d’instructions qui à tout entier $n\ge 2$ associe les polygones à 2, 3, ..., n côtés tracés sur un même repère orthonormé.
Tracer le polygone à 40 côtés. Il a l’air d’un cercle. Utiliser l’agrandissement (zoom) pour montrer que c’est bien une ligne polygonale.

Commentaires généraux : Tracer un polygone à $n$ côtés est facile : l’angle au centre étant $\frac{2\pi}{n}$ , la liste des asbcisses des sommets est $cos{(0\cdotp \frac{2\pi}{n})}$ , $cos{(1\cdotp \frac{2\pi}{n})}$ , $cos{(2\cdotp \frac{2\pi}{n})},\,\ldots \,$ , $cos{(n\cdotp \frac{2\pi}{n})}$ (faire une boucle « pour »). Dans cette boucle, calculer simultanément les ordonnées, suivant que le sommet se trouve dans le demi-plan supérieur ou inférieur (« instruction conditionnelle »).

Commentaires scilab : Voir la fiche de commentaires et le fichier « polygone.sce ».


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