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Sept exercices sur "V - Boucles tant que"

mercredi 21 octobre 2009, par Fabrice Eudes

Énoncé n° 1 [*] : Calculer la somme des nombres entiers impairs inférieurs ou égaux à n.

Commentaires généraux : On ajoute 2 à 1, puis 5 à la somme obtenue et on continue tant que le nombre impair qui vient est $\le n$ .

Commentaires détaillés Scilab : Le fichier « AF_Somimp.sce » est une simple boucle "tant que" (boucle avec arrêt conditionnel).
Pour calculer la somme des entiers impairs de 1 à 500 par exemple, on charge ce fichier dans scilab à l’aide de

— >exec("chemin_du_fichier")

puis « Entrée ». Si on veut la somme $S$ des entiers impairs de 1 à 500, il suffit de taper la commande

— >S=Somimp(500)

(sans le signe ; pour que le résultat s’affiche).

Commentaires détaillés JavaScript :


AFSomimpJS: Script

Énoncé n° 2 [***] :

Programmer la fonction qui, à tout réel $x$ , associe sa partie entière et sa partie décimale.
Application : calculer la partie entière de $\cos{2}$ et la partie décimale de $-\sqrt{2}$ .
Calculer la partie entière de $10^6\cdotp \pi$ .

Commentaires généraux : Cet exercice, que nous soumettons à nos collègues et non à leurs élèves, est déjà un sujet élaboré. Quand on y réfléchit, il apparaît tout de suite que l’on doit distinguer les cas $x<0$ et $x\ge 0$ , ce qui va se traduire par une instruction conditionnelle : "si $x<0$ alors on fait ceci, sinon, on fait cela". Dans le cas où $x<0$ , on regarde si $x<-1$ , $x<-2$ , etc. On continue tant que l’inégalité est vraie. Quand elle cesse d’être vraie, on a atteint la partie entière de $x$ . Il y aura une boucle "tant que". Le cas $x\ge 0$ est analogue.

Commentaires Scilab : Dans le script scilab ci-dessous, la fonction qui à $x$ associe ses parties entière et décimale est notée "Lille"
(pourquoi pas ?). On peut l’appeler (en indiquant son chemin si ce script a été téléchargé). Ensuite, pour obtenir la partie entière de $10^6\cdotp \pi$ , il suffit de taper

— >[a,b]=Lille(10^6*%pi)

ce qui donne a=3141598, b=0.6535898, puis

— >partieentiere=a

ce qui donne partieentiere=3141598.

On remarquera que ce calcul dure longtemps car la boucle "tant que" tourne assez longtemps.

Commentaires Javascript :


AFpartJS: Script

Énoncé n° 3 [***] : Ranger trois réels donnés $x$ , $y$ et $z$ dans l’ordre croissant.

Commentaires généraux : Nous proposons ici un tri à bulles, c’est à dire une succession de passages en revue de la suite $x,\,y,\,z$ en nombre suffisant, un passage consistant à échanger $x$ et $y$ si $x>y$ , puis $y$ - dont la valeur peut avoir changé - et $z$ si $y>z$ et de compter le nombre $S$ d’échanges effectués. Si $S=0$ , c’est que $x$ , $y$ et $z$ étaient dans l’ordre croissant : on s’arrête. Sinon, on continue. Cette activité est à rapprocher de l’exercice n° 4 de l’activité IV - Instructions conditionnelles

Commentaires scilab : voir le fichier de commentaires. Une solution est donnée sous forme de fichier de commande, une autre sous forme de fonction.


Commentaires rangerxyz

Commentaires JavaScript :


AFrangerxyzJS: Script

Énoncé n° 4 [****] Un triangle ABC est donné par les coordonnées de ses sommets A, B et C dans un repère orthonormé. Écrire un algorithme qui permette d’en déduire qu’il est isocèle (sans être équilatéral), équilatéral ou quelconque (c’est à dire, ici, non isocèle).

Commentaires généraux : Si $a$ , $b$ et $c$ désignent les longueurs des côtés du triangle, rangées dans l’ordre croissant, il est facile d’exprimer que ce triangle n’est pas isocèle ou est isocèle sans être équilatéral ou est équilatéral, à l’aide d’une instruction conditionnelle. On verra que tester l’égalité de deux nombres donne souvent un résultat faux et qu’il faut ruser pour obtenir une solution approximative acceptable, ce qui amène à s’interroger sur les mathématiques que l’on enseigne et sur leurs applications.

Commentaires scilab : On va ranger les longueurs des côtés du triangle dans l’ordre croissant à l’aide de la fonction « foncranger » de l’exercice n° 3, version scilab. Voir le fichier de commentaires, l’algorithme exact « isocele.sce », qui ne marche pas toujours et l’algorithme approximatif, « presquisocele.sce », satisfaisant.


Commentaires scilab

Commentaires JavaScript :


AFpresqueisoceleJS: Script

Énoncé n° 5 [**] :

Combien y a-t-il de nombres factoriels inférieurs ou égaux à $10^6$ , $10^9$ , $10^{12}$ ? à $17\, !$ ?
3629200 et 39916800 sont-ils des nombres factoriels ?

Commentaires généraux : Comme une même question est posée 4 fois, on a intérêt à définir une fonction qui à tout entier $p\ge 1$ associe le nombre de nombres factoriels (nombres de la forme $1\cdotp 2\,\cdotp\,3\,\cdotp\,\cdots\,\cdotp\,n$ ) inférieurs ou égaux à $p$ .

Commentaires scilab : $n\, !$ est donné par l’instruction $gamma(n+1)$ . Nous n’utiliserons pas cette instruction. La définition de la fonction demandée, appelée « nombfact » pose un problème de comptage très simple.


Commentaires scilab

Énoncé n° 6 [*] : On admet que la longueur d’un saut de kangourou d’une certaine espèce est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [9,43[ (en mètres). Écrire un algorithme qui donne le nombre de sauts effectués par un tel kangourou pour que la distance totale parcourue soit $\ge 2$ km.

Commentaires généraux : Bon exercice pour aborder les boucles « tant que ». En effet, l’algorithme demandé se réduit à une telle boucle. On admet comme une évidence que si $x$ est un nombre choisi au hasard dans l’intervalle $[0,1[$ , $9+34*x$ est un nombre choisi au hasard dans l’intervalle $[9,43[$ .

Commentaires scilab : La commande « rand() » produit un nombre tiré au hasard dans l’intervalle $[0,1[$ . Si on l’utilise $n$ fois, on obtient $n$ de ces nombres, réputés indépendants. L’algorithme « SautsKangourou.sce » joint est commenté.

Énoncé n° 7 [**] (suite de l’énoncé n° 6) :

Définir à l’aide d’un algorithme la fonction qui à toute distance $d$ (exprimée en mètres) associe le nombre de $N$ sauts nécessaires au kangourou pour la parcourir.
Demander au kangourou de bien vouloir répéter en tout $T$ fois l’expérience précédente ; calculer le nombre moyen de sauts qu’il aura effectués lors de ces tentatives.

Commentaires généraux : La première question consiste à présenter sous forme de fonction l’algorithme de l’exercice précédent (simple boucle « tant que »). On répète $T$ fois l’expérience à l’aide d’une boucle « pour ».

Commentaires scilab : Facile. Voir la capture d’écran scilab (« CaptureScilab ») et le script « MoySautsKang.sce »


CaptureScilab

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