Les expressions de 2 à partir d’un entier impair : un outil indispensable

Par Daniel AUSTIN
Membre du groupe EMTA de l’IREM de Lille, ancien professeur d’histoire géographie - Lycée Pierre de Coubertin - Calais
en l’absence de son compère Michel GUILLEMOT
Membre de l’IREM de Toulouse, ancien maître de Conférence en Histoire des mathématiques - Université Paul Sabatier - Toulouse

Après une description à la fois globale et succincte du Papyrus Mathématique de Rhind et de quelques principes de base relatifs à la numération, l’atelier porte sur les « fractions égyptiennes ».
Nous mettons à dessein des guillemets à ce terme car les Égyptiens étant dans l’ignorance du concept général qui les régit, n’avaient pas de mots ou d’expressions pour définir nos fractions comme 23/449 puisque cela leur était inconcevable. Ils utilisaient des inverses d’entiers ou quantièmes en ajoutant un point au dessus de l’entier considéré.
Cependant il existe un élément qui va faire toute la différence, c’est-à-dire l’existence d’une vraie fraction sans guillemet pour laquelle nous avons une réalité de prononciation : « rôouy » soit 2/3. L’intrusion de ce nombre fut le résultat de pratiques opératoires fécondes dont la genèse nous est inconnue. A partir de ce panel nous étudierons la « décomposition de 2 sur N de 3 à 101 » (N impair) en une suite de quantièmes pour chaque nombre de N considéré.

En général la décomposition d’un nombre fait appel à des choix qui sont l’apanage de l’Art égyptien du calcul.
Nous proposerons plusieurs exemples, qui pourront aussi constituer des exercices à proposer aux élèves montrant qu’il n’y a pas dans la manipulation des nombres un seul chemin pour arriver à une solution, mais qu’il y aura une démarche meilleure que les autres pour y parvenir selon le but à atteindre.
En cela, cette arithmétique à l’intérieur de processus précis laisse une liberté de manœuvre que le scribe appelle « tèp èn irèt » (la manière de faire).

Les expressions de 2 à partir d’un nombre impair

Ce document de Daniel Austin et Michel Guillemot propose une synthèse de ce qui a été abordé dans l’atelier.

Bibliographie

Cette bibliographie est à jour sur le nouveau site de l’IREM de Lille.