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Le théorème de Pythagore
dimanche 8 mai 2005, par ,
Présentation :
auteur : Bernard Godon
statut : séquence complète avec documents pour le professeur et documents à photocopier.
Déroulement :
lieu : salle de classe
durée : 4 heures
organisation : alternance de travail individuel et de travail en groupe
matériel enseignant :
- prévoir les photocopies des différentes fiches ;
- fabriquer les pièces du puzzle ( il doit pouvoir être montré au rétroprojecteur) ;
- fabriquer le cordeau égyptien.
matériel élève :
- quelques crayons de couleur ;
- une calculatrice.
But :
intérêt pédagogique :
- étape 1 : le test « longueur et aire »
- approche naturelle de la notion de racine carrée d’un nombre positif. D’après les historiens, c’est de cette façon qu’elle apparut aux pythagoriciens. Les élèves découvrent la notion de nombre irrationnel à partir d’activités simples et de concepts qu’ils connaissent déjà ;
- à l’occasion de l’introduction de la racine carrée, les élèves sont amenés à s’interroger sur les limites de la calculatrice.
- étape 2 : le papier pointé
- les élèves découvrent le théorème par eux-mêmes, l’enseignant
crée des conditions favorables à son apprentissage.
- les élèves découvrent le théorème par eux-mêmes, l’enseignant
- étape 3 : le puzzle
- après l’étape n°2, qui a le même but, les élèves renforcent la même image mentale. En outre, ils découvrent le théorème par une activité différente, faisant appel à la manipulation.
- étape 4 : la démonstration
- les trois démonstrations, choisies parmi toutes celles qui sont possibles, ont leur interêt :
- la démonstration par les aires est l’une des plus simples et vient naturellement à la suite des séquences précédentes ;
- la seconde démonstration utilise le calcul littéral et permet de travailler ce point important du programme ;
- la démonstration par le cosinus est l’occasion de réinvestir une notion ancienne (la proportion) et une notion nouvelle (le cosinus).
- l’initiation à la démonstration est un point important du programme de 4ème.
- les trois démonstrations, choisies parmi toutes celles qui sont possibles, ont leur interêt :
- étape 5 : la réciproque
- l’introduction à la réciproque du théorème de Pythagore est faite d’une façon vivante, à partir d’un objet tiré de la civilisation égyptienne.
- étape 6 : les trois visages de Pythagore
- la confusion entre théorème direct, la réciproque et la contraposée est un problème récurrent de l’enseignement des mathématiques, même au niveau supérieur. Il est important de l’aborder très tôt dans la scolarité.
objectifs :
- étape 1 : le test « longueur et aire »
- évaluation des connaissances des quadrilatères, de la notion de carré, d’aire et de périmètre ;
- évaluation des connaissances de la notion d’aire ;
- introduction de la racine carrée (sa nature irrationnelle et sa définition).
- étape 2 : le papier pointé
- permet aux élèves de conjecturer le théorème de Pythagore.
- étape 3 : le puzzle
- permet aux élèves de conjecturer le théorème de Pythagore.
- étape 4 : la démonstration
- initiation à la démonstration. Trois démonstrations au choix sont proposées :
- la démonstration par les aires ;
- la démonstration littérale ;
- la démonstration par cosinus.
- initiation à la démonstration. Trois démonstrations au choix sont proposées :
- étape 5 : la réciproque
- introduire la réciproque du théorème de Pythagore ;
- démontrer la réciproque du théorème de Pythagore (dans les classes dont le niveau le permet).
- étape 6 : les trois visages de Pythagore
- montrer la différence entre théorème direct, la réciproque et la contraposée ;
- apprendre aux élèves à analyser les données d’un problème en vue de déterminer s’ils vont utiliser le théorème direct, la réciproque ou la contraposée ;
- apprendre aux élèves à rédiger différemment selon qu’ils utilisent le théorème direct, la réciproque ou la contraposée.- remarque : un document à usage du professeur est proposé, qui met en évidence la confusion qui peut se faire entre théorème direct, la réciproque et la contraposée.
Prérequis :
savoirs : la notion d’aire (les connaissances sur cette notion sont évaluées dans la première séquence).
Correspondance avec les instructions officielles :
Arrété du 10-1-1997 JO du 21-1-1997
Extraits du programme :
— Caractériser le triangle rectangle : par la propriété de Pythagore et sa réciproque.
— Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. En donner, s’il y a lieu, une valeur
approchée, en faisant éventuellement usage de la touche d’une calculatrice.
— Trouver à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre positif.
Le théorème de Pythagore fournit l’occasion de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui relèvent d’une situation où le nombre calculé a une signification que l’élève peut identifier. On peut aussi rattacher le calcul d’une racine carrée à des problèmes où interviennent l’aire d’un carré et la mesure de son côté.
Références :
articles :
- Curiosités géométriques : E Fourrey, Vuibert et Nony éditeurs, Paris, 1907 ;
- Dictionnaire des mathématiques : Stella Baruk, Le Seuil ;
- Py,Pytha, Pythagore : A. Deledicq, Collection Maths pour tous, vol 3, éditions ACL ;
- Repères IREM n°1, 5, 15 et 17 : éditions Topiques, Pont- A - Mousson ;
- Document d’accompagnement du programme de mathématiques : Françoise Vandieren, src Licap, Bruxelles.
Documents à télécharger
1. Le test "longueur et aire"
2. le papier pointé
3. le puzzle
4. la démonstration
4.a. la démonstration par les aires
4.b. la démonstration littérale
4.c. la démonstration par cosinus
5. la réciproque
6. Les trois visages de Pythagore
Messages
13 août 2005, 18:52, par benjamin Clerc
Bonjour, (salut Farice)
La construction du point D dans le document 5 me laisse perplexe ! Vous écrivez "comme l’indique la figure" ... j’ai du mal à bien voir :-(
Vous entendez quoi par là ?
Bien cordialement,
Benjamin Clerc
16 août 2005, 08:57
On trace le demi-cercle de diamètre [AB] ne contenant pas C. Le point D est l’intersection de ce demi-cercle avec le cercle de centre A et de rayon [AC].
Bien cordialement,
Bernard
5 décembre 2005, 17:54
Bonjour, je voulais juste vous remercier d’avoir créé un site parlant de Pythagore, il m’a permis de trouver des informations supplémentaires pour mon travail de fin d’études.
Bien à vous
Julie
7 décembre 2005, 09:09, par Fabrice Eudes
Merci de l’encouragement. Cela ne peut que nous motiver à placer d’autres activités sur ce site :-)
13 novembre 2006, 21:20, par LG
Bonjour, je tenais à vous dire que votre site est vraiment complet, et très intéressant.J’avais besoin d’idées pour mon cours sur la réciproque du théorème de Pythagore, et là je suis vraiment servie !!
Merci aussi pour le document "Les trois visages", c’est une très bonne fiche pour finir le cours et tout récapituler !
Amicalement,LG
4 décembre 2006, 22:42, par 59230
bonjour je suis en 4eme et je m’interesse en math meme si se n’est pas mon poits fort en ce moment j’apprend le theoreme de pythagore je dit a tout le monde que c’est pas dur il suffit de comprendre car moi en ce moment je fais des exercice sur le theoreme de pythagore et j’arrive tres bien et aussi en numerique mes bon ici on parle surtout du theoreme de pythagore si vous avez un site sur des test que l’on peut faire en ligne disait le moi a l’adresse suivant 59230@voila.fr je vous la confie c’est mon adresse pour les gens inconnu
merci de me repondre a ma question que j’ai poser a tres bientot
13 décembre 2006, 00:53, par autiermaths
Bravo et merci pour ce merveilleux site que je découvre à l’instant, il n’est jamais trop tard puisque j’ai 33 ans !!!
Je vous félicite pour la qualité de votre travail et je trouve passionnant que de jeunes stagiaires ou élèves vous rendent visite !
Je me permets une petite suggestion concernant l’approche du Théorème de Pythagore ; c’est un moyen simple que j’ai constaté pour attirer facilement l’attention des élèves, parfois dispersés dans mon collège sensible...
Après la découverte de la racine carrée, il ne m’apparaît pas inutile de procéder à une séance de calcul mental : 3 exemples préliminaires où le plus rapide à lever la main répond, suivis de 10 calculs dictés chacun 2 fois, de 5 à 10 secondes pour chaque écriture d’expression suivie de la réponse. On demandera d’abord quelques carrés d’entiers, voire de décimaux tels que O,1² ou O,5², avant de demander quelques racines carrées d’entiers simples, voire racine(121) ou racine(144). Les élèves s’auto-évaluent et se notent de 0 à 20 selon qu’ils ont correctement écrit l’expression et fourni la bonne réponse.
Voilà j’espère que cette contribution n’était pas déplacée !
A bientôt
F.Autier, professeur de mathématiques
13 décembre 2006, 11:30
Merci pour vos encouragements. N’hésitez pas à me faire part de vos remarques ; elles nous sont très précieuses.
M. GODON
2 septembre 2007, 21:40
Détail : dans la fiche "Commentaires sur les trois visages de Pythagore" les notations "puissances" ne sont pas écrites à l’exposant.
Bravo pour vos suggestions sur la manière d’aborder le théorème de Pythagore.
2 septembre 2007, 22:03, par fabrice eudes
En relisant, je n’ai trouvé qu’un seul "2" qui n’était pas placé en exposant, celui de (C, en-dessous du mot "réciproque").
J’ai également trouvé un "nest" au lieu de "n’est".
Faut-il corriger autre chose ?
merci.
PS : je mettrai à jour dans la semaine, mais en attendant le source openoffice est modifiable par chacun :-)
12 juin 2008, 21:21, par SK
UN GRAND MERCI POUR CE TRAVAIL REMARQUABLE QUE VOUS METTEZ GENEREUSEMENT A LA DISPOSITION DE TOUS !!!!
Vive les Mathématiques et le partage du savoir...
Amicalement,
Une future-ex-contractuelle...
16 juin 2008, 10:37, par un belge
Bonjour,
Pas encore aussi vieux que ce bon Pythagore !! Mais j’ai quand même pas mal d’années de bouteille et je me suis "battu" avec certains esprits d’élèves ... Superbe site, magnifiques démonstrations, travail impeccable ; bref en un mot "FELICITATIONS"
16 février 2009, 23:22, par Joséphine.
Merci, Merci beaucoup ! Grâce à vous et toutes vos explications, j’ai obtenu de très bonnes notes à mon dernier contrôle :) !
Tout est clair & détaillé et grâce à vous, j’ai enfin compris Pythagore et je suis passée de 10,5 à 14 ,5 !
Merci encore, bonne continuation
Joséphine.
18 septembre 2012, 20:42, par Beranger
Merci beaucoup pour cet énorme travail mis à la disposition de tous.
Beranger, professeur