Proportionnalité du diamètre et du périmètre du cercle

Présentation :

 auteur : Fabrice Eudes
 statut : Professeur de Mathématiques, collège Descartes, Liévin, animateur IREM.

 auteur : Bernard Godon
 statut : Professeur de Mathématiques, chargé de mission à l’IUFM Nord-Pas de Calais, animateur IREM.

 auteur : Raymond Moché
 statut : Professeur de mathématiques retraité (université de Lille 1), ancien directeur de l’IREM de Lille.

Déroulement :
 lieu : en salle informatique ou en salle classique avec un vidéoprojecteur.
 durée : une heure.
 organisation : un travail individuel ou en groupe de deux.
 matériel enseignant : quelques objets ayant un périmètre à mesurer, de la ficelle et une règle, (éventuellement un pied à coulisse). Pour la partie informatique, on utilise 1, 2 ou 3 fichiers GeoGebra (on peut se limiter au premier, en supprimant la question II.3 (illustration graphique) et le III qui est une manipulation pour ouvrir l’esprit et solliciter l’imagination).
 matériel élève : photocopier le tableau de calcul (ci-dessous) où seront notés les résultats des expériences.

But :
 intérêt pédagogique : manipuler, agir et découvrir pour comprendre.
 objectifs : découvrir le nombre et savoir calculer le périmètre d’un cercle.

Prérequis :
 savoirs : Reconnaître un tableau de proportionnalité et son coefficient de proportionnalité.
 savoir-faire : Initiation à un logiciel de géométrie dynamique, ici GeoGebra (logiciel libre) : savoir déplacer un curseur sur un écran, et pour l’illustration graphique, savoir saisir un point du plan donné par ses coordonnées, savoir tracer un segment donné par ses extrémités.

Correspondance avec les instructions officielles :
 extrait des programmes officiels : BO hors série n°6, 19 avril 2007.
 compétences mises en oeuvre :

• compétence n°1 : Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.
• compétence n°2 : - Traiter les problèmes « de proportionnalité », en utilisant des raisonnements appropriés, en particulier : utilisation du coefficient de proportionnalité. Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité.
• compétence n°3 : Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté : tableaux en deux ou plusieurs colonnes.

Références :
 sur internet : programme de 6ème.

 sur internet : petit film, très intéressant, d’une conférence de Jean Brette sur le nombre .

Didactique et pédagogie :

I - Comment peut-on mesurer le périmètre et le diamètre d’un cercle ?

I.1 - Mesure du périmètre

Si le cercle est tracé sur un cylindre, on pourra utiliser un mètre souple comme un mètre ruban ou un mètre de couturière. On peut aussi entourer le cylindre à l’aide d’une ficelle de façon à ce qu’il dessine un cercle sur le cylindre, repérer une portion de ficelle qui fait exactement un tour autour du cylindre, puis la mesurer. Les photos ci-dessous montrent comment utiliser une bande de papier ou un ruban à la place d’une ficelle.

Pot et bande de papier

On place une bande de papier autour d’un pot suivant un cercle dans le but d’en mesurer le périmètre (photo suivante).

Mesure du périmètre

On mesure la longueur de la portion de la bande de papier qui fait exactement un tour (un cercle) autour du pot.

Les mesures que l’on obtient sont toujours approximatives puisque l’on mesure avec une seule décimale.

I.2 - Mesure du diamètre

Sauf dans certains cas particuliers, mesurer le diamètre d’un cercle nécessite un pied à coulisse [1].

Diamètre et pied à coulisse

Mesurer un diamètre avec un pied à coulisse paraît une méthode précise.

Sans instruments spéciaux, l’erreur de mesure peut être importante. On peut mesurer assez précisément le diamètre d’un CD ou d’un DVD ou d’un disque vinyle de divers formats parce qu’on peut faire passer le double décimètre par son centre, en visant bien. Enfin, le diamètre est parfois donné (on donne le diamètre des tubes de PVC ou des tuyaux de cuivre dans les magasins de bricolage ; le diamètre des roues des vélos exposés à la vente est indiqué : 700, 650 par exemple, en millimètres, sans l’épaisseur du pneu).

Bien sûr, quand on trace un cercle sur une feuille de papier à l’aide d’un compas, il est facile de mesurer son rayon, mais mesurer le périmètre sera difficile.

II - Proportionnalité du diamètre et du périmètre d’un cercle

Il y a une relation extraordinaire - comment convaincre les élèves que c’est extraordinaire ? - entre le diamètre D et le périmètre L d’un cercle. Cette relation était déjà connue des mathématiciens égyptiens, babyloniens et grecs (elle apparaît il y a plus de 4000 ans en Egypte [2]), ainsi que, probablement, par des mathématiciens indiens et chinois. On peut la découvrir en mesurant le diamètre D et le périmètre L d’une grande variété d’objets circulaires (voir les exemples ci-dessus, plus toutes sortes de bouteilles, pots et flacons, manches à balai, manches de pelles de toutes sortes). On constate que dans tous les cas, le rapport vaut à peu près 3,1. Remarquer cela a été une grande découverte. Il est possible que le rapport trouvé par un élève soit un peu différent de 3,1. Cela serait dû uniquement aux erreurs de mesure et aux approximations du calcul. Les mathématiciens ont démontré que ce rapport est vraiment constant, sa valeur exacte étant le fameux nombre dont 3,1 est une valeur approchée. La première démonstration est due à Archimède.

Pour éviter les problèmes pratiques, faisons une simulation informatique.

rem : la touche "Shift" étant appuyée, il est possible de déplacer l’ensemble de la figure pour faire apparaître les curseurs.

<geogebra|doc=1166>

Ouvrir le fichier Geogebra « Périmètre et diamètre du cercle ». est un point fixe. C’est l’origine de la graduation sur (il n’est pas utile de parler de la graduation à gauche de  ; ceci dit, de telles graduations se voient couramment dans certains ascenseurs, sur des thermomètres, etc). Les points , et sont mobiles. Le point est le centre du cercle considéré, le point de contact du cercle et de la droite , c’est à dire le point où le cercle et la droite sont tangents. est un point fixe du cercle, qui est mobile puisque le cercle va rouler sur . est le diamètre du cercle. Grâce à deux curseurs, on peut faire varier l’angle au centre de 0 à 360 degrés avec un pas de 2 degrés et de 0 à 3,8 cm avec un pas de 0,1 cm.

Le cercle fait un tour complet en roulant sur la droite quand varie de 0 à 360 degrés (on peut s’en convaincre en faisant rouler une pièce de monnaie sur la tranche de laquelle on aura placé un repère, en la tenant entre le pouce et l’index en son milieu).

Quand degré, coïncide avec et avec . Le rayon est perpendiculaire à .

Quand degrés, est de nouveau perpendiculaire à . Alors est la longueur de la circonférence, soit . Pour cette valeur de , le logiciel donne la valeur de qu’on peut aussi lire directement grâce à la graduation de .

La suite de l’activité consiste donc à donner à une valeur, à faire rouler le cercle de un tour exactement sur la droite graduée (en faisant varier de 0 à 360 degrés grâce au curseur) et à lire la valeur de sa circonférence sur la graduation (qui est aussi la valeur affichée par le logiciel, répétons le), à reporter cette valeur dans le tableau fourni (ouvrir le fichier « Fiche élève » proposé au format OpenOffice, modifiable, ou au format pdf) et finalement, à traiter les questions qui suivent :

1 - Reporter dans la deuxième colonne la valeur de quand cm, puis ligne suivante quand cm et ainsi de suite (les valeurs que l’on donnera à sont déjà reportées dans la première colonne).

2 - Quand la deuxième colonne sera complète, calculer ligne par ligne les quotients successifs et reporter le résultat dans la troisième colonne (on pourra s’arrêter à la première décimale).

Interprétation : on reconnaît un tableau de proportionnalité. Pour les valeurs de lues dans la première colonne et les valeurs correspondantes de lues dans la deuxième colonne, on voit que

Cela est vrai pour les 8 cercles que nous avons fait rouler sur la droite graduée (car nous avons donné 8 valeurs à ), mais les mathématiciens grecs de l’Antiquité ont démontré, nous l’avons déjà dit, que c’est toujours vrai, pour n’importe quel cercle.

On obtient donc le périmètre de n’importe quel cercle en multipliant son diamètre par la constante 3,1 (qui est une valeur approchée de , quand on mesure les longueurs en cm ou dans n’importe quelle autre unité).

On dit que :

Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son diamètre et le coefficient de proportionnalité est 3,1.

3 - En utilisant la figure ci-dessous (fichier Illustration graphique), reporter sur le plan rapporté à 2 axes gradués les points A, B, C, D, E, F, G et H dont les abscisses sont les valeurs que l’on a données successivement au diamètre du cercle et dont les ordonnées sont les valeurs correspondantes des périmètres . Par exemple, le point A est le point (0,3 ; 0,9). Il est déjà reporté, ainsi que l’origine des axes O. Tracer la droite OH. Que constate-t-on ?

<geogebra|doc=1108>

III - Pour le plaisir

On a placé un point sur la bande de roulement d’une roue de vélo, c’est à dire sur la partie du pneu qui touche la route [3]. Essayer d’imaginer le dessin que parcourt le point quand le vélo roule en ligne droite (utiliser le curseur).

La réponse est fournie par le fichier « Sur un vélo en ligne droite ». On observe que la figure présente une symétrie (axiale) et qu’elle se reproduit sans cesse à l’identique, autrement dit, qu’elle constitue une frise.

<geogebra|doc=1168>